A base de um aquário, com o formato de um prisma retangular de
de volume, é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale à cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
Então, temos um problema onde precisamos encontrar as dimensões de um aquário em forma de prisma retangular com volume de
. A base é feita de ardósia e os lados de vidro. O custo da ardósia é cinco vezes o custo do vidro por unidade de área. Nosso objetivo é minimizar o custo total do material usado para construir o aquário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar de:
-
: comprimento da base, -
: largura da base, -
: altura do aquário.
Sabemos que o volume
do prisma retangular é dado por:
E o volume é de
, então:
Passo 3
Queremos minimizar o custo do material. Vamos calcular a área da ardósia e do vidro.
- Área da base (ardósia):
- Área das laterais (vidro):
- Duas laterais de
: - Duas laterais de
: - Área total das laterais:
- Duas laterais de
Passo 4
O custo total
é a soma do custo da ardósia e do vidro. Sabemos que o custo da ardósia é cinco vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de
. Então:
- Custo da ardósia:
- Custo do vidro:
- Custo total:
Passo 5
Para simplificar, podemos dividir tudo por
(já que estamos interessados em minimizar em relação às dimensões, o
não afetará o mínimo):
Passo 6
Agora, precisamos expressar todas as variáveis em termos de duas delas, usando a restrição do volume
. Vamos resolver para
:
Passo 7
Substituindo
na expressão do custo:
Passo 8
Agora, temos a função de custo
em termos de
e
:
Para minimizar, precisamos encontrar os valores de
e
que minimizam essa função. Vamos usar derivadas parciais.
Passo 9
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero:
Passo 10
Resolvendo a primeira equação para
:
Resolvendo a segunda equação para
:
Passo 11
Substituindo
na equação
:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Como
:
Passo 12
Agora, encontramos
. Substituindo na expressão para
:
Passo 13
Finalmente, usando
e
na equação do volume para encontrar
:
Resposta
As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são:
- Comprimento
, - Largura
, - Altura
.
Exercícios relacionados
Supondo que a função diferenciável
é definida pela equação
determine
.
Seja a função
. Determine e esboce o domínio da função e calcule
. Determine também a sua imagem.
O comprimento
de um lado de um triângulo está aumentando a uma taxa de
, o comprimento
de um outro lado está decrescendo a uma taxa de
e o ângulo
entre eles está aumentando a uma taxa de 0,05 radiano/s. Quão rapidamente está variando a área do triângulo quando
e
?
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
em
e
.