A base de um aquário, com o formato de um prisma retangular de de volume, é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale à cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

Então, temos um problema onde precisamos encontrar as dimensões de um aquário em forma de prisma retangular com volume de . A base é feita de ardósia e os lados de vidro. O custo da ardósia é cinco vezes o custo do vidro por unidade de área. Nosso objetivo é minimizar o custo total do material usado para construir o aquário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar de:
  • : comprimento da base,
  • : largura da base,
  • : altura do aquário.
Sabemos que o volume do prisma retangular é dado por:
E o volume é de , então:

Passo 3

Queremos minimizar o custo do material. Vamos calcular a área da ardósia e do vidro.
  • Área da base (ardósia):
  • Área das laterais (vidro):
    • Duas laterais de :
    • Duas laterais de :
    • Área total das laterais:

Passo 4

O custo total é a soma do custo da ardósia e do vidro. Sabemos que o custo da ardósia é cinco vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de . Então:
  • Custo da ardósia:
  • Custo do vidro:
  • Custo total:

Passo 5

Para simplificar, podemos dividir tudo por (já que estamos interessados em minimizar em relação às dimensões, o não afetará o mínimo):

Passo 6

Agora, precisamos expressar todas as variáveis em termos de duas delas, usando a restrição do volume . Vamos resolver para :

Passo 7

Substituindo na expressão do custo:

Passo 8

Agora, temos a função de custo em termos de e :
Para minimizar, precisamos encontrar os valores de e que minimizam essa função. Vamos usar derivadas parciais.

Passo 9

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero:

Passo 10

Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 11

Substituindo na equação :
Multiplicando ambos os lados por 8:
Como :

Passo 12

Agora, encontramos . Substituindo na expressão para :

Passo 13

Finalmente, usando e na equação do volume para encontrar :

Resposta

As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são:
  • Comprimento ,
  • Largura ,
  • Altura .

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determine .
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