Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no domínio
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais para achar os pontos críticos e também avaliar a função nas bordas do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio
. Vamos verificar a condição
para
:
Sim, está dentro. Então, vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar os limites do domínio
. As fronteiras são definidas por:
-
e -
e -
com e
Vamos avaliar
em cada uma dessas fronteiras.
1. Quando
:
Para
e
(pois
), o valor de
varia de
(quando
) até
(quando
).
2. Quando
:
Para
e
(pois
), o valor de
varia de
(quando
) até
(quando
).
3. Quando
:
Aqui, podemos expressar e substituir na função:
Aqui, podemos expressar
Para encontrar os extremos dessa função, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Substituindo
em
:
Então, o ponto crítico na fronteira é
. Calculando
nesse ponto:
Resposta
Os valores absolutos de
no domínio
são:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto: