Determine os valores máximo e mínimo absolutos de em e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no domínio e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais para achar os pontos críticos e também avaliar a função nas bordas do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a :
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio . Vamos verificar a condição para :
Sim, está dentro. Então, vamos calcular o valor de nesse ponto:

Passo 4

Em seguida, vamos analisar os limites do domínio . As fronteiras são definidas por:
  1. e
  2. e
  3. com e
Vamos avaliar em cada uma dessas fronteiras.
1. Quando :
Para e (pois ), o valor de varia de (quando ) até (quando ).
2. Quando :
Para e (pois ), o valor de varia de (quando ) até (quando ).
3. Quando :
Aqui, podemos expressar e substituir na função:
Para encontrar os extremos dessa função, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Substituindo em :
Então, o ponto crítico na fronteira é . Calculando nesse ponto:

Resposta

Os valores absolutos de no domínio são:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:

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