O comprimento de um lado de um triângulo está aumentando a uma taxa de , o comprimento de um outro lado está decrescendo a uma taxa de e o ângulo entre eles está aumentando a uma taxa de 0,05 radiano/s. Quão rapidamente está variando a área do triângulo quando e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo cujos lados e estão mudando de tamanho com o tempo, e também o ângulo entre eles está aumentando. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação (chamadas de taxas relacionadas). Vamos precisar aplicar a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles: .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da área do triângulo:
Queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para achar , vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas. A derivada fica assim:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que nos foram dados:
  • cm
  • cm
  • rad
  • cm/s
  • cm/s
  • rad/s

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  1. Sabemos que :
  2. Sabemos que :

Passo 7

Agora, somamos tudo dentro da derivada:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos por :

Resposta

A área do triângulo está aumentando a uma taxa de quando cm, cm e .

Exercícios relacionados

A base de um aquário, com o formato de um prisma retangular de de volume, é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale à cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Supondo que a função diferenciável é definida pela equação
determine .
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de em e .
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função e pelo eixo .