O comprimento
de um lado de um triângulo está aumentando a uma taxa de
, o comprimento
de um outro lado está decrescendo a uma taxa de
e o ângulo
entre eles está aumentando a uma taxa de 0,05 radiano/s. Quão rapidamente está variando a área do triângulo quando
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo cujos lados
e
estão mudando de tamanho com o tempo, e também o ângulo
entre eles está aumentando. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação (chamadas de taxas relacionadas). Vamos precisar aplicar a fórmula da área de um triângulo quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles:
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da área do triângulo:
Queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para achar
, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas. A derivada fica assim:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que nos foram dados:
-
cm -
cm -
rad -
cm/s -
cm/s -
rad/s
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
-
Sabemos que
: -
-
Sabemos que
:
Passo 7
Agora, somamos tudo dentro da derivada:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos por
:
Resposta
A área do triângulo está aumentando a uma taxa de
quando
cm,
cm e
.
Exercícios relacionados
A base de um aquário, com o formato de um prisma retangular de
de volume, é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale à cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Supondo que a função diferenciável
é definida pela equação
determine
.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
em
e
.
Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função
e pelo eixo
.