Supondo que a função diferenciável
é definida pela equação
determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável
que está definida pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando
está definido de forma indireta por uma equação envolvendo
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a operação de derivada em todas as partes da equação:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada lado separadamente. No lado esquerdo, temos
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Ainda no lado esquerdo, precisamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos para o lado direito da equação original:
. A derivada disso em relação a
é:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
no lado esquerdo:
Passo 8
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 9
Fatorando
:
Passo 10
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja a função
. Determine e esboce o domínio da função e calcule
. Determine também a sua imagem.
Sobre uma montanha, a elevação
acima de um ponto
um plano
ao nível do mar é dada por
metros. Considerando-se que o eixo
positivo aponta para o leste e que o eixo
positivo aponta para o norte e que o escalador está no ponto de coordenadas
, responda:
Qual a taxa máxima de elevação?
Qual a taxa máxima de elevação?
A base de um aquário, com o formato de um prisma retangular de
de volume, é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale à cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
O comprimento
de um lado de um triângulo está aumentando a uma taxa de
, o comprimento
de um outro lado está decrescendo a uma taxa de
e o ângulo
entre eles está aumentando a uma taxa de 0,05 radiano/s. Quão rapidamente está variando a área do triângulo quando
e
?