Supondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida pela equação
cos (x z)=1+x^2 y^2+z^2
determine partial zpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável z = f(x, y) que está definida pela equação cos(xz) = 1 + x^2 y^2 + z^2. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando z está definido de forma indireta por uma equação envolvendo x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a operação de derivada em todas as partes da equação:
ddx[cos(xz)] = ddx[1 + x^2 y^2 + z^2]

Passo 3

Agora, vamos derivar cada lado separadamente. No lado esquerdo, temos cos(xz). Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de cos(u) é -sin(u) cdot dudx. Aqui, u = xz, então:
ddx[cos(xz)] = -sin(xz) cdot ddx[xz]

Passo 4

Ainda no lado esquerdo, precisamos derivar xz em relação a x. Usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'. Aqui, u = x e v = z:
ddx[xz] = ddx[x] cdot z + x cdot ddx[z] = 1 cdot z + x cdot partial zpartial x
Então, substituindo de volta:
ddx[cos(xz)] = -sin(xz) cdot (z + x cdot partial zpartial x)

Passo 5

Agora, vamos para o lado direito da equação original: 1 + x^2 y^2 + z^2. A derivada disso em relação a x é:
ddx[1 + x^2 y^2 + z^2] = 0 + 2x y^2 + 2z cdot partial zpartial x

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
-sin(xz) cdot (z + x cdot partial zpartial x) = 2x y^2 + 2z cdot partial zpartial x

Passo 7

Nosso objetivo é isolar partial zpartial x. Vamos distribuir o -sin(xz) no lado esquerdo:
-sin(xz) cdot z - sin(xz) cdot x cdot partial zpartial x = 2x y^2 + 2z cdot partial zpartial x

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos que contêm partial zpartial x de um lado e os demais termos do outro:
-sin(xz) cdot x cdot partial zpartial x - 2z cdot partial zpartial x = 2x y^2 + sin(xz) cdot z

Passo 9

Fatorando partial zpartial x:
partial zpartial x cdot (-sin(xz) cdot x - 2z) = 2x y^2 + sin(xz) cdot z

Passo 10

Finalmente, isolamos partial zpartial x dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:
partial zpartial x = 2x y^2 + sin(xz) cdot z-x sin(xz) - 2z = 2x y^2 + z sin(xz)-x sin(xz) - 2z

Resposta

A derivada parcial de z em relação a x é:
partial zpartial x = 2x y^2 + z sin(xz)-x sin(xz) - 2z

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