Supondo que a função diferenciável é definida pela equação
determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferenciável que está definida pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando está definido de forma indireta por uma equação envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a operação de derivada em todas as partes da equação:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada lado separadamente. No lado esquerdo, temos . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é . Aqui, , então:

Passo 4

Ainda no lado esquerdo, precisamos derivar em relação a . Usamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de é . Aqui, e :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos para o lado direito da equação original: . A derivada disso em relação a é:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir o no lado esquerdo:

Passo 8

Agora, vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 9

Fatorando :

Passo 10

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

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