Seja a função . Determine e esboce o domínio da função e calcule . Determine também a sua imagem.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos descobrir três coisas:
  1. Domínio da função: quais valores de e fazem a função funcionar direitinho.
  2. Calcular : substituir e na função para encontrar o resultado.
  3. Imagem da função: quais são os possíveis valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções compostas, raízes quadradas e propriedades do cosseno.

Passo 2

Determinar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares onde a função está definida. Olhando para a nossa função , temos que garantir que tudo dentro da raiz quadrada seja válido, pois a raiz de um número negativo não existe nos números reais.
Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Isso significa que para qualquer valor de , tem que ser menor ou igual a . Esse é o nosso domínio.

Passo 3

Calcular
Vamos substituir e na função:
Sabemos que:
E:
Então:

Passo 4

Determinar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores possíveis que pode assumir. Sabemos que a função cosseno, , tem como valores possíveis qualquer número entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso, o argumento da função cosseno é , que sempre será um número real não negativo, já que está dentro do domínio definido. Portanto, varia de 0 até , mas o cosseno vai sempre oscilar entre -1 e 1 independentemente do valor de .
Assim, a imagem da função é:

Resposta

O domínio da função é . O valor de é 1, e a imagem da função é o intervalo .

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determine .
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