Seja a função
. Determine e esboce o domínio da função e calcule
. Determine também a sua imagem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos descobrir três coisas:
- Domínio da função: quais valores de
e fazem a função funcionar direitinho. - Calcular
: substituir e na função para encontrar o resultado. - Imagem da função: quais são os possíveis valores que
pode assumir.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções compostas, raízes quadradas e propriedades do cosseno.
Passo 2
Determinar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares
onde a função está definida. Olhando para a nossa função
, temos que garantir que tudo dentro da raiz quadrada seja válido, pois a raiz de um número negativo não existe nos números reais.
Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Isso significa que para qualquer valor de
,
tem que ser menor ou igual a
. Esse é o nosso domínio.
Passo 3
Calcular
Vamos substituir
e
na função:
Sabemos que:
E:
Então:
Passo 4
Determinar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores possíveis que
pode assumir. Sabemos que a função cosseno,
, tem como valores possíveis qualquer número entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso, o argumento da função cosseno é
, que sempre será um número real não negativo, já que está dentro do domínio definido. Portanto,
varia de 0 até
, mas o cosseno vai sempre oscilar entre -1 e 1 independentemente do valor de
.
Assim, a imagem da função
é:
Resposta
O domínio da função
é
. O valor de
é 1, e a imagem da função é o intervalo
.