Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelas superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pelas superfícies e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares, já que a região está delimitada por um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. A superfície é um plano inclinado que sobe conforme e aumentam. A equação representa um círculo de raio 2 no plano . Como estamos no primeiro octante, vamos considerar apenas e .
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, onde e . Isso facilita a integração porque a região é circular. No primeiro octante, o ângulo varia de 0 a radians, e o raio vai de 0 a 2 (o raio do círculo).
Passo 4
A altura do sólido em cada ponto é dada pela diferença entre e (o plano ). Em coordenadas polares, isso fica .
Passo 5
O volume pode ser calculado pela integral dupla da função altura sobre a região. Em coordenadas polares, a fórmula do volume fica:
Aqui, multiplicamos pela Jacobiana que aparece na transformação para coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ):
A integral de de 0 a 2 é:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa (em relação a ):
Vamos integrar e separadamente:
Então, a integral total é .
Passo 8
Multiplicando pela constante:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante é unidades cúbicas.