A gente vai usar o conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente, coordenadas polares. Para isso, vamos precisar transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A condição descreve um círculo com raio centrado na origem. Além disso, significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e .
Passo 3
Em coordenadas polares, a função da integral fica:
E o diferencial de área se transforma em .
Além disso, a região em polares será definida por e para cobrir .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Isso separa a integral em duas partes: uma em e outra em .
Passo 5
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a :
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então . Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a parte externa da integral, que é em relação a integral-pi2^pi2 dtheta = pi :