A base de um aquário com volume de
é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Boa Prova:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de otimização envolvendo geometria e custos. Precisamos encontrar as dimensões ideais de um aquário com volume fixo de
, onde a base é feita de ardósia (que é 5 vezes mais cara que o vidro) e os lados são de vidro. O objetivo é determinar as dimensões que minimizam o custo total do material.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: comprimento da base do aquário (dm) -
: largura da base do aquário (dm) -
: altura do aquário (dm)
Sabemos que o volume
do aquário é dado por:
Como o volume é fixo, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área dos diferentes materiais:
- Área da base (ardósia):
- Área das laterais (vidro): Temos quatro lados: dois com área
e dois com área . Então:
Passo 4
O custo total
é a soma do custo da base e do custo das laterais. Sabendo que o preço da ardósia é 5 vezes o preço do vidro, vamos chamar o preço do vidro de
. Então:
Podemos simplificar retirando
em comum:
Como estamos interessados em minimizar
, podemos ignorar o fator
e minimizar a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo
pela expressão em termos de
e
:
Passo 5
Para simplificar, suponhamos que o aquário seja retangular e que
. Isso nos ajuda a reduzir a complexidade do problema. Então, deixamos:
Substituindo na equação do custo:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de
que minimiza
, derivamos a função em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
e
, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são: