A base de um aquário com volume de é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de otimização envolvendo geometria e custos. Precisamos encontrar as dimensões ideais de um aquário com volume fixo de , onde a base é feita de ardósia (que é 5 vezes mais cara que o vidro) e os lados são de vidro. O objetivo é determinar as dimensões que minimizam o custo total do material.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
: comprimento da base do aquário (dm)
: largura da base do aquário (dm)
: altura do aquário (dm)
Sabemos que o volume do aquário é dado por:
Como o volume é fixo, podemos expressar em termos de e :
Passo 3
Agora, vamos calcular a área dos diferentes materiais:
Área da base (ardósia):
Área das laterais (vidro): Temos quatro lados: dois com área e dois com área . Então:
Passo 4
O custo total é a soma do custo da base e do custo das laterais. Sabendo que o preço da ardósia é 5 vezes o preço do vidro, vamos chamar o preço do vidro de . Então:
Podemos simplificar retirando em comum:
Como estamos interessados em minimizar , podemos ignorar o fator e minimizar a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo pela expressão em termos de e :
Passo 5
Para simplificar, suponhamos que o aquário seja retangular e que . Isso nos ajuda a reduzir a complexidade do problema. Então, deixamos:
Substituindo na equação do custo:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de que minimiza , derivamos a função em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :
Passo 7
Com e , encontramos usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são: