Seja a função
. Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de
.
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de
.
© os extremos locais e pontos de sela da função
, se existirem.
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de
© os extremos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função, além de identificar os extremos locais e pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e critérios para extrema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
Já a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
Passo 3
Agora vamos achar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, as derivadas das derivadas parciais que acabamos de calcular.
A segunda derivada parcial em relação a
,
, é:
A segunda derivada parcial em relação a
,
, é:
E a derivada mista,
ou
, que é a derivada de
em relação a
, ou de
em relação a
:
Ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar os extremos locais e pontos de sela, precisamos localizar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero.
Então, vamos resolver o sistema:
Resolvendo para
:
E para
:
Então, os pontos críticos são:
Agora, vamos usar o Teste da Segunda Derivada para classificar esses pontos. Calculamos o discriminante
:
Substituindo as derivadas:
Analisando cada ponto:
-
Ponto (3, 1):
-
Ponto (3, -1):
-
Ponto (-1, 1):
-
Ponto (-1, -1):
Resposta
(a) As derivadas parciais de primeira ordem são:
(b) As derivadas parciais de segunda ordem são:
© Os extremos e pontos de sela da função
são:
- Mínimo Local em
- Máximo Local em
- Pontos de Sela em
e
Exercícios relacionados
Ache as derivadas parciais de primeira ordem de
.
b)
b)
Calcule a integral:
A base de um aquário com volume de
é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Boa Prova:
Encontre o valor da integral
.