Seja a função . Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de .
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de .
© os extremos locais e pontos de sela da função , se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função, além de identificar os extremos locais e pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e critérios para extrema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a , denotada por , é:
Já a derivada parcial de em relação a , denotada por , é:

Passo 3

Agora vamos achar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, as derivadas das derivadas parciais que acabamos de calcular.
A segunda derivada parcial em relação a , , é:
A segunda derivada parcial em relação a , , é:
E a derivada mista, ou , que é a derivada de em relação a , ou de em relação a :
Ou seja, .

Passo 4

Para encontrar os extremos locais e pontos de sela, precisamos localizar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero.
Então, vamos resolver o sistema:
Resolvendo para :
E para :
Então, os pontos críticos são:
Agora, vamos usar o Teste da Segunda Derivada para classificar esses pontos. Calculamos o discriminante :
Substituindo as derivadas:
Analisando cada ponto:
  1. Ponto (3, 1):
    í
  2. Ponto (3, -1):
  3. Ponto (-1, 1):
  4. Ponto (-1, -1):
    á

Resposta

(a) As derivadas parciais de primeira ordem são:
(b) As derivadas parciais de segunda ordem são:
© Os extremos e pontos de sela da função são:
  • Mínimo Local em
  • Máximo Local em
  • Pontos de Sela em e

Exercícios relacionados

Ache as derivadas parciais de primeira ordem de .
b)
Calcule a integral:
A base de um aquário com volume de é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Encontre o valor da integral .