Seja a função f(x, y) = 1/3 * x^3 + 4/3 * y^3 - x^2 - 3 * x - 4 * y - 3. Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de f.
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de f.
© os extremos locais e pontos de sela da função f, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função, além de identificar os extremos locais e pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e critérios para extrema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e y. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de f em relação a x, denotada por , é:
Já a derivada parcial de f em relação a y, denotada por , é:

Passo 3

Agora vamos achar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, as derivadas das derivadas parciais que acabamos de calcular.
A segunda derivada parcial em relação a x, , é:
A segunda derivada parcial em relação a y, , é:
E a derivada mista, ou , que é a derivada de em relação a y, ou de em relação a x:
Ou seja, .

Passo 4

Para encontrar os extremos locais e pontos de sela, precisamos localizar os pontos críticos da função, que são onde as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero.
Então, vamos resolver o sistema:
Resolvendo para x:
E para y:
Então, os pontos críticos são:
Agora, vamos usar o Teste da Segunda Derivada para classificar esses pontos. Calculamos o discriminante D:
Substituindo as derivadas:
Analisando cada ponto:
  1. Ponto (3, 1):
    í
  2. Ponto (3, -1):
  3. Ponto (-1, 1):
  4. Ponto (-1, -1):
    á

Resposta

(a) As derivadas parciais de primeira ordem são:
(b) As derivadas parciais de segunda ordem são:
© Os extremos e pontos de sela da função f são:
  • Mínimo Local em
  • Máximo Local em
  • Pontos de Sela em e

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