Encontre o valor da integral .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber para resolver. A questão quer que a gente calcule a integral de no intervalo de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas, especificamente a função tangente hiperbólica, e como integrar funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da integral. A fração é a definição da função tangente hiperbólica, que é representada por . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Sabemos que a integral da tangente hiperbólica é uma função conhecida. A integral de em relação a é mais uma constante. No nosso caso, como temos , precisamos ajustar para a constante que está dentro da função. Usando substituição, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa integral definida de 0 a 1:
Sabemos que , e . Então, simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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A base de um aquário com volume de é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Seja a função . Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de .
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de .
© os extremos locais e pontos de sela da função , se existirem.
Calcule a integral:
Calcule a integral: