Encontre o valor da integral integral0^1 e^k x-e^-k xe^k x+e^-k x dx.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber para resolver. A questão quer que a gente calcule a integral de e^k x-e^-k xe^k x+e^-k x no intervalo de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas, especificamente a função tangente hiperbólica, e como integrar funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da integral. A fração e^k x-e^-k xe^k x+e^-k x é a definição da função tangente hiperbólica, que é representada por tanh(kx). Então, nossa integral fica:
integral0^1 tanh(kx) , dx

Passo 3

Sabemos que a integral da tangente hiperbólica é uma função conhecida. A integral de tanh(u) em relação a u é ln(cosh(u)) mais uma constante. No nosso caso, como temos tanh(kx), precisamos ajustar para a constante k que está dentro da função. Usando substituição, a integral fica:
integral tanh(kx) , dx = 1k ln(cosh(kx)) + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa integral definida de 0 a 1:
[ 1k ln(cosh(kx)) ]0^1 = 1k ln(cosh(k)) - 1k ln(cosh(0))
Sabemos que cosh(0) = 1, e ln(1) = 0. Então, simplificando:
1k ln(cosh(k)) - 0 = 1k ln(cosh(k))

Resposta

O valor da integral é 1k ln(cosh(k)).

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