Encontre o valor da integral
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber para resolver. A questão quer que a gente calcule a integral de
no intervalo de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas, especificamente a função tangente hiperbólica, e como integrar funções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão dentro da integral. A fração
é a definição da função tangente hiperbólica, que é representada por
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Sabemos que a integral da tangente hiperbólica é uma função conhecida. A integral de
em relação a
é
mais uma constante. No nosso caso, como temos
, precisamos ajustar para a constante
que está dentro da função. Usando substituição, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa integral definida de 0 a 1:
Sabemos que
, e
. Então, simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
A base de um aquário com volume de
é feita de ardósia e os lados sảo de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensōes do aquário para minimizar o custo do material.
Boa Prova:
Boa Prova:
Seja a função
. Determine:
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de .
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de .
© os extremos locais e pontos de sela da função , se existirem.
(a) as derivadas parciais de primeira ordem de
(b) as derivadas parciais de segunda ordem de
© os extremos locais e pontos de sela da função
Calcule a integral:
Calcule a integral: