A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um aquário com volume fixo cuja base é feita de ardósia e os lados são de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes o preço do vidro. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário (comprimento, largura e altura) que minimizem o custo total do material usado para construir o aquário.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização envolvendo áreas e custos. Vamos seguir passo a passo para encontrar as dimensões que minimizam o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
  • = comprimento da base
  • = largura da base
  • = altura do aquário
Como o volume é fixo, temos a relação:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do aquário para determinar o custo total.
  • Área da base (ardósia):
  • Área das laterais (vidro):
    O aquário tem duas laterais de largura e altura , e duas laterais de comprimento e altura . Então:

Passo 4

Sabemos que o custo da ardósia por unidade de área é cinco vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de . Então, o custo da ardósia será .
Agora, podemos expressar o custo total do material:
ó
Substituindo as áreas que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do custo substituindo pela expressão que encontramos no Passo 2 ( ):
Simplificando as frações:

Passo 6

Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de e que minimizam a função . Vamos derivar em relação a e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero:
De forma semelhante, derivamos em relação a :
Igualamos a derivada a zero:

Passo 7

Agora, temos duas equações relacionando e :
Podemos substituir a expressão de na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Com o valor de , podemos encontrar usando a equação do Passo 6:
Substituindo :

Passo 9

Agora, vamos encontrar a altura usando a relação do volume:
Substituindo e :

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do material são:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

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