A base de um aquário com volume
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um aquário com volume fixo
cuja base é feita de ardósia e os lados são de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes o preço do vidro. Nosso objetivo é encontrar as dimensões do aquário (comprimento, largura e altura) que minimizem o custo total do material usado para construir o aquário.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização envolvendo áreas e custos. Vamos seguir passo a passo para encontrar as dimensões que minimizam o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões do aquário. Vamos chamar:
-
= comprimento da base -
= largura da base -
= altura do aquário
Como o volume
é fixo, temos a relação:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do aquário para determinar o custo total.
- Área da base (ardósia):
- Área das laterais (vidro):
O aquário tem duas laterais de largurae altura , e duas laterais de comprimento e altura . Então:
Passo 4
Sabemos que o custo da ardósia por unidade de área é cinco vezes o custo do vidro. Vamos chamar o custo do vidro por unidade de área de
. Então, o custo da ardósia será
.
Agora, podemos expressar o custo total
do material:
Substituindo as áreas que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do custo substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 2 (
):
Simplificando as frações:
Passo 6
Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de
e
que minimizam a função
. Vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero:
De forma semelhante, derivamos
em relação a
:
Igualamos a derivada a zero:
Passo 7
Agora, temos duas equações relacionando
e
:
Podemos substituir a expressão de
na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a equação do Passo 6:
Substituindo
:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a altura
usando a relação do volume:
Substituindo
e
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo do material são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura: