Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y) = y * raiz(x) - y^2 - x + 6 * y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis:
O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar ferramentas do cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Resolvendo para :
Então, . Portanto, o ponto crítico é .

Passo 6

Para determinar a natureza do ponto crítico , vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
No ponto :
Calculando o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto é um máximo local.

Resposta

A função apresenta um máximo local no ponto . Não há mínimos locais ou pontos de sela.

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