Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função de duas variáveis:
O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela dessa função. Para isso, vamos usar ferramentas do cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Resolvendo para
:
Então,
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 6
Para determinar a natureza do ponto crítico
, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
No ponto
:
Calculando o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto
é um máximo local.
Resposta
A função apresenta um máximo local no ponto
. Não há mínimos locais ou pontos de sela.