Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Novamente,
nunca é zero, então:
Passo 5
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
No ponto
:
Passo 7
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Passo 8
Como
, isso significa que o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
. Não há valores máximos ou mínimos locais.