Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y) = e^(4y - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Novamente, nunca é zero, então:

Passo 5

Então, o único ponto crítico é .

Passo 6

Para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Calculando as segundas derivadas:
No ponto :

Passo 7

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):

Passo 8

Como , isso significa que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em . Não há valores máximos ou mínimos locais.

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