Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y) = 4x + 6y ; x^2 + y^2 = 13

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função com a restrição . Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática pra resolver problemas de otimização com restrições. Precisamos entender a função que queremos otimizar e a condição que ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, montamos o Lagrangeano, que combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de ). A fórmula fica assim:

Passo 3

Em seguida, a gente precisa achar onde as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a , e são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, derivando em relação a :
Depois, derivando em relação a :
E por fim, a derivada em relação a nos dá a própria restrição:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Como é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as expressões:

Passo 5

Agora, substituímos na restrição :
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 6

Com :
Com :
Então, temos dois pontos candidatos: e .

Passo 7

Vamos calcular os valores da função nesses pontos:
Para :
Para :

Resposta

O valor máximo da função é 26 no ponto e o valor mínimo é -26 no ponto .

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