Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximos e mínimos da função
com a restrição
. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática pra resolver problemas de otimização com restrições. Precisamos entender a função que queremos otimizar e a condição que ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, montamos o Lagrangeano, que combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de
). A fórmula fica assim:
Passo 3
Em seguida, a gente precisa achar onde as derivadas parciais do Lagrangeano em relação a
,
e
são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, derivando em relação a
:
Depois, derivando em relação a
:
E por fim, a derivada em relação a
nos dá a própria restrição:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Como
é o mesmo nas duas equações, podemos igualar as expressões:
Passo 5
Agora, substituímos
na restrição
:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 6
Com
:
Com
:
Então, temos dois pontos candidatos:
e
.
Passo 7
Vamos calcular os valores da função
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
O valor máximo da função é 26 no ponto
e o valor mínimo é -26 no ponto
.