Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y) = (x^2 * y^2 - 8 * x + y) / (x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Dividindo cada termo pelo denominador , temos:
Então, a função simplificada é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Ou seja:

Passo 5

Vamos substituir a expressão de da primeira equação na segunda:
Isso nos dá a equação:
As soluções são ou .

Passo 6

Desprezamos porque, substituindo na expressão de , teríamos uma divisão por zero. Então, resolvemos :

Passo 7

Com , substituímos na expressão de :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 8

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto , temos:

Passo 9

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como e , isso indica que o ponto é um máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto .

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