Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Dividindo cada termo pelo denominador
, temos:
Então, a função simplificada é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Ou seja:
Passo 5
Vamos substituir a expressão de
da primeira equação na segunda:
Isso nos dá a equação:
As soluções são
ou
.
Passo 6
Desprezamos
porque, substituindo na expressão de
, teríamos uma divisão por zero. Então, resolvemos
:
Passo 7
Com
, substituímos na expressão de
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 8
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto
, temos:
Passo 9
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como
e
, isso indica que o ponto é um máximo local.
Resposta
A função possui um máximo local no ponto
.