Se A=(1,0),(0,1) base canônica de R^2 e B=(1,1),(1,-1)
c) Determine [(x, y)]B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as coordenadas de um vetor (x, y) na base B = (1,1), (1,-1) do R^2. Isso está dentro do tópico de Mudança de Base em Álgebra Linear. Para resolver, precisamos entender como representar um vetor em uma nova base usando combinações lineares das novas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor (x, y) pode ser escrito como uma combinação linear das bases de B. Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
(x, y) = a(1,1) + b(1,-1)

Passo 3

Vamos expandir a combinação:
(x, y) = (a + b, a - b)
Isso nos dá um sistema de duas equações:
a + b = x a - b = y

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar a e b. Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = x + y Rightarrow 2a = x + y Rightarrow a = x + y2

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + b) - (a - b) = x - y Rightarrow 2b = x - y Rightarrow b = x - y2

Passo 6

Então, as coordenadas de (x, y) na base B são:
[(x, y)]B = (x + y2, x - y2)

Resposta

As coordenadas de (x, y) na base B são (dfracx + y2,, dfracx - y2).

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