Identifique a cônica que representa cada equação, encontrando seus principais elementos nos casos nào degenerados. Faça também ume esboço da curva.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau que parece meio complicada:
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de curva essa equação representa (como uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar seus principais elementos (como centro, vértices, etc.) e até fazer um esboço dessa curva. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como classificação de cônicas e rotação de eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para identificar os coeficientes padrão das cônicas. A equação geral de uma cônica é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
-
-
-
-
(não temos termo constante em ) -
-
Passo 3
Agora, para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é dado por:
Vamos calcular:
Como o discriminante
, isso indica que a equação representa uma parábola ou um caso degenerate. Mas como queremos os casos não degenerados, vamos confirmar isso.
Passo 4
Para eliminar o termo
e simplificar a equação, usamos uma rotação de eixos. A rotação é feita usando o ângulo
que satisfaz:
No nosso caso:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que
, então
.
Passo 5
Com
, fazemos a mudança de coordenadas:
Como
, substituímos na equação original e simplificamos para eliminar o termo
. Após realizar os cálculos, a equação transformada ficará na forma:
Passo 6
Após simplificar, obtemos uma equação padrão de uma parábola na nova coordenada
. A partir daí, identificamos o vértice, a direção da abertura e outros elementos principais da parábola.
Resposta
A equação
representa uma parábola cuja abertura está rotacionada em relação aos eixos coordenados, com vértice deslocado e inclinada a 45 graus.