Identifique a cônica que representa cada equação, encontrando seus principais elementos nos casos nào degenerados. Faça também ume esboço da curva.
(a) x^2-2 x y+y^2+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau que parece meio complicada: . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de curva essa equação representa (como uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole), encontrar seus principais elementos (como centro, vértices, etc.) e até fazer um esboço dessa curva. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como classificação de cônicas e rotação de eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar os coeficientes padrão das cônicas. A equação geral de uma cônica é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • (não temos termo constante em )

Passo 3

Agora, para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é dado por:
De
Vamos calcular:
De
Como o discriminante , isso indica que a equação representa uma parábola ou um caso degenerate. Mas como queremos os casos não degenerados, vamos confirmar isso.

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C e simplificar a equação, usamos uma rotação de eixos. A rotação é feita usando o ângulo tan(2theta) = -21 - 1 = -20 que satisfaz:
No nosso caso:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que , então .

Passo 5

Com x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta , fazemos a mudança de coordenadas:
y'^2 = 2raiz2x' - 2raiz2y'
Como , substituímos na equação original e simplificamos para eliminar o termo . Após realizar os cálculos, a equação transformada ficará na forma:

Passo 6

Após simplificar, obtemos uma equação padrão de uma parábola na nova coordenada . A partir daí, identificamos o vértice, a direção da abertura e outros elementos principais da parábola.

Resposta

A equação representa uma parábola cuja abertura está rotacionada em relação aos eixos coordenados, com vértice deslocado e inclinada a 45 graus.

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