Seja
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o ortogonal complementar de um conjunto
no espaço tridimensional. O conjunto
é definido por:
Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores no plano
(onde a componente
é zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de subespaço ortogonal e usar produtos escalares para determinar quais vetores estão em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o ortogonal complementar. Dados um subespaço
de
, o conjunto
é formado por todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor de
. Matematicamente, isso significa:
Aqui,
representa o produto escalar entre
e
.
Passo 3
Vamos considerar um vetor genérico
em
e verificar quando ele está em
. Para isso, precisamos que o produto escalar de
com qualquer vetor
de
seja zero:
Isso deve ser verdadeiro para todos os valores de
e
.
Passo 4
A equação
precisa valer para todos os
e
. A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de
e
forem zero. Ou seja:
Com isso, nosso vetor
se reduz a:
onde
pode ser qualquer número real.
Resposta
Portanto, o ortogonal complementar
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em notação matemática: