Seja S=u=(x, y, 0) in R^3 ; x, y in R, determine S^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o ortogonal complementar de um conjunto S = u = (x, y, 0) in R^3 ; x, y in R no espaço tridimensional. O conjunto é definido por:
Isso significa que é o conjunto de todos os vetores no plano (onde a componente é zero). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de subespaço ortogonal e usar produtos escalares para determinar quais vetores estão em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o ortogonal complementar. Dados um subespaço S^perp = v in R^3 ; v cdot u = 0 forall u in S de , o conjunto é formado por todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor de . Matematicamente, isso significa:
Aqui, representa o produto escalar entre e .

Passo 3

Vamos considerar um vetor genérico v cdot u = (a, b, c) cdot (x, y, 0) = ax + by + c cdot 0 = ax + by = 0 em e verificar quando ele está em . Para isso, precisamos que o produto escalar de com qualquer vetor de seja zero:
Isso deve ser verdadeiro para todos os valores de e .

Passo 4

A equação a = 0 e b = 0 precisa valer para todos os v = (0, 0, c) e . A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de e forem zero. Ou seja:
Com isso, nosso vetor se reduz a:
onde pode ser qualquer número real.

Resposta

Portanto, o ortogonal complementar S^perp = (0, 0, c) in R^3 ; c in R é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em notação matemática:

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