Verifique que a expressão
define um produto interno sobre o espaço
dos polinômios sobre o corpo real. Caso afirmativo, para o espaço
, verifique se os polinômios
e
são ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma expressão que envolve somas de termos com polinômios, e precisamos verificar se essa expressão é um produto interno no espaço dos polinômios
sobre os números reais. Depois, se for um produto interno, vamos checar se dois polinômios específicos são ortogonais no espaço
.
Conteúdo da matéria:
- Produto interno: uma maneira de associar dois vetores (neste caso, polinômios) a um número real, seguindo certas propriedades.
- Ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero.
O que vamos precisar:
- Conhecer as propriedades que definem um produto interno.
- Aplicar essas propriedades à expressão dada.
- Calcular o produto interno de
e no espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos recordar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada um produto interno:
- Positividade:
para todo polinômio , e se e somente se . - Simetria:
para todos os polinômios e . - Linearidade no primeiro argumento:
para todos os polinômios e escalares .
Vamos verificar se a expressão dada satisfaz essas três propriedades.
Passo 3
Verificando a Positividade:
Vamos calcular
onde
.
Como todos os denominadores
são positivos (já que
), e os
são produtos de números réais, a soma será sempre não negativa. Além disso,
somente se todos os
, ou seja, se
. Assim, a propriedade de positividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Simetria:
Precisamos mostrar que
.
Vamos calcular:
Observamos que
, então os termos são iguais. Logo,
, atendendo à simetria.
Passo 5
Verificando a Linearidade no Primeiro Argumento:
Vamos considerar dois polinômios
e
, e um escalar
. Precisamos mostrar que:
De fato, ao expandir:
E para a multiplicação por escalar:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.
Passo 6
Como verificamos que a expressão satisfaz as três propriedades necessárias (positividade, simetria e linearidade no primeiro argumento), podemos concluir que ela define um produto interno no espaço
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: verificar se os polinômios
e
são ortogonais no espaço
.
Definição de Ortogonalidade:
Dois polinômios são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
Dois polinômios são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
Vamos calcular
.
Primeiro, identifiquemos os coeficientes:
- Para
, temos , (já que não há ). - Para
, temos , .
Aplicando a expressão do produto interno:
Vamos calcular termo a termo:
- Quando
, :
- Quando
, :
- Quando
, :
- Quando
, :
Agora, somamos todos os termos:
Resposta
Os polinômios
e
não são ortogonais no espaço
, já que o produto interno entre eles é
.