Verifique que a expressão lang<=sumi=1^n ai x^i ; sumk=1^n bk x^krang<==sumi=1, k=1^n ai bki+k+1 define um produto interno sobre o espaço Pn(x) dos polinômios sobre o corpo real. Caso afirmativo, para o espaço P2(x), verifique se os polinômios x e x+x^2 são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma expressão que envolve somas de termos com polinômios, e precisamos verificar se essa expressão é um produto interno no espaço dos polinômios sobre os números reais. Depois, se for um produto interno, vamos checar se dois polinômios específicos são ortogonais no espaço .
Conteúdo da matéria:
  • Produto interno: uma maneira de associar dois vetores (neste caso, polinômios) a um número real, seguindo certas propriedades.
  • Ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as propriedades que definem um produto interno.
  • Aplicar essas propriedades à expressão dada.
  • Calcular o produto interno de e no espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada um produto interno:
  1. Positividade: para todo polinômio , e se e somente se .
  2. Simetria: para todos os polinômios e .
  3. Linearidade no primeiro argumento: para todos os polinômios e escalares .
Vamos verificar se a expressão dada satisfaz essas três propriedades.

Passo 3

Verificando a Positividade:
Vamos calcular lang<= p, p rang<= = sumi=1^n sumk=1^n ai aki + k + 1 onde .
Como todos os denominadores são positivos (já que ), e os são produtos de números réais, a soma será sempre não negativa. Além disso, somente se todos os , ou seja, se . Assim, a propriedade de positividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Simetria:
Precisamos mostrar que lang<= p, q rang<= = sumi=1^n sumk=1^n ai bki + k + 1 .
Vamos calcular:
lang<= q, p rang<= = sumk=1^n sumi=1^n bk aik + i + 1
Observamos que , então os termos são iguais. Logo, , atendendo à simetria.

Passo 5

Verificando a Linearidade no Primeiro Argumento:
Vamos considerar dois polinômios lang<= p + q, r rang<= = lang<= p, r rang<= + lang<= q, r rang<= e lang<= c p, r rang<= = c lang<= p, r rang<= , e um escalar lang<= p + q, r rang<= = sumi=1^n sumk=1^n (ai + bi) cki + k + 1 = sumi=1^n sumk=1^n ai cki + k + 1 + sumi=1^n sumk=1^n bi cki + k + 1 = lang<= p, r rang<= + lang<= q, r rang<= . Precisamos mostrar que:
lang<= c p, r rang<= = sumi=1^n sumk=1^n (c ai) cki + k + 1 = c sumi=1^n sumk=1^n ai cki + k + 1 = c lang<= p, r rang<=
De fato, ao expandir:
E para a multiplicação por escalar:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.

Passo 6

Como verificamos que a expressão satisfaz as três propriedades necessárias (positividade, simetria e linearidade no primeiro argumento), podemos concluir que ela define um produto interno no espaço .

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: verificar se os polinômios lang<= x, x + x^2 rang<= = sumi=1^2 sumk=1^2 ai bki + k + 1 e a1 b11 + 1 + 1 = 1 times 13 = 13 são ortogonais no espaço a1 b21 + 2 + 1 = 1 times 14 = 14 .
Definição de Ortogonalidade:
Dois polinômios são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
Vamos calcular a2 b12 + 1 + 1 = 0 times 14 = 0 .
Primeiro, identifiquemos os coeficientes:
  • Para a2 b22 + 2 + 1 = 0 times 15 = 0 , temos lang<= x, x + x^2 rang<= = 13 + 14 + 0 + 0 = 13 + 14 = 4 + 312 = 712 , (já que não há ).
  • Para , temos , .
Aplicando a expressão do produto interno:
Vamos calcular termo a termo:
  1. Quando , :
  1. Quando , :
  1. Quando , :
  1. Quando , :
Agora, somamos todos os termos:

Resposta

Os polinômios e não são ortogonais no espaço , já que o produto interno entre eles é .

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