Obtenha os autovalores (caso existain) A=(cc3 & 4 -6 & 2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os autovalores da matriz 3 & 4 -6 & 2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e encontrar suas raízes.

Passo 2

O próximo passo é encontrar o polinômio característico da matriz det(A - lambda I) = 0 . O polinômio característico é dado por:
onde:
  • representa o determinante,
  • são os autovalores que queremos encontrar,
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade A - lambda I = 3 - lambda & 4 -6 & 2 - lambda de ordem 2 é:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(2 - lambda) - (-6)(4)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6
- (-6)(4) = 24
Então, o determinante fica:
lambda^2 - 5lambda + 6 + 24 = lambda^2 - 5lambda + 30

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 5lambda + 30 = 0

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 302 cdot 1 = 5 pm raiz25 - 1202 = 5 pm raiz-952
Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, isso indica que os autovalores são números complexos.

Resposta

Os autovalores da matriz lambda = 5 + iraiz952 e lambda = 5 - iraiz952 são:

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