Se
base canônica de
e
Calcule
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases para o espaço bidimensional
:
- Base
, que é a base canônica. - Base
.
Queremos encontrar as coordenadas do vetor
em relação a cada uma dessas bases, ou seja,
e
.
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. A base
é a base canônica, o que significa que qualquer vetor
já está representado diretamente em termos das coordenadas da base
. Portanto, as coordenadas do vetor
na base
são simplesmente
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para isso, precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Isso significa que queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos expandir a equação acima:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, temos que
.
Substituindo na primeira equação:
Então,
.
Resposta
As coordenadas do vetor
são: