Se A=(1,0),(0,1) base canônica de R^2 e B=(1,1),(1,-1) Calcule [(1,0)]B e [(1,0)]A

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases para o espaço bidimensional :
  • Base , que é a base canônica.
  • Base .
Queremos encontrar as coordenadas do vetor em relação a cada uma dessas bases, ou seja, e .
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Vamos começar encontrando . A base é a base canônica, o que significa que qualquer vetor já está representado diretamente em termos das coordenadas da base . Portanto, as coordenadas do vetor na base são simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos calcular (1,0) = c1 cdot (1,1) + c2 cdot (1,-1) . Para isso, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos expandir a equação acima:
(1,0) = (c1 + c2, c1 - c2)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 = 1 c1 - c2 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, temos que c1 + c1 = 1 Rightarrow 2c1 = 1 Rightarrow c1 = 12 .
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Resposta

As coordenadas do vetor [(1,0)]A = 1 0 são:
[(1,0)]B = 12 12

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