Se base canônica de e Calcule e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas bases para o espaço bidimensional :
  • Base , que é a base canônica.
  • Base .
Queremos encontrar as coordenadas do vetor em relação a cada uma dessas bases, ou seja, e .
Para resolver isso, precisaremos utilizar conceitos de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases.

Passo 2

Vamos começar encontrando . A base é a base canônica, o que significa que qualquer vetor já está representado diretamente em termos das coordenadas da base . Portanto, as coordenadas do vetor na base são simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos expandir a equação acima:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, temos que .
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Resposta

As coordenadas do vetor são:

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Seja o operador linear de tal que . Verifique se T é bijetora, se for, determine .
Considerando e bases e : Determine ;
Considerando e bases e : Determine a base tal que
Sejam e bases de : Determine , quando