Considerando A=(1,-1),(0,2) e B=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases e [T]B^A= [cc1 & 0 1 & 1 0 & -1] : Determine a base D tal que [T]D^A=[cc1 & 0 0 & 0 0 & -1]

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas bases, e , definidas nos espaços de domínio e codomínio, respectivamente. Também nos foi dada a matriz de uma transformação linear com relação a essas bases, . O objetivo é encontrar uma nova base no codomínio tal que a matriz de em relação a e seja uma matriz diagonal específica. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de bases, transformações lineares e mudanças de base.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função entre dois espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. As matrizes associadas a essas transformações dependem das bases escolhidas nos espaços de domínio e codomínio.

Passo 3

A matriz [T]B^A = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 nos dá os coeficientes que descrevem como a transformação 1 & 0 0 & 0 0 & -1 atua nos vetores da base e os expressa na base . No nosso caso, a matriz é:
Queremos encontrar uma nova base no codomínio tal que a matriz seja:

Passo 4

Para encontrar a base , precisamos entender que isso envolve uma mudança de base no codomínio. Em outras palavras, queremos encontrar uma base tal que, quando expressamos os vetores do codomínio nessa nova base, a matriz da transformação se torne a matriz diagonal desejada.

Passo 5

Vamos usar o conceito de mudança de base. Se [T]D^A = P^-1 [T]B^A é a matriz de mudança de base de 1 & 0 0 & 0 0 & -1 = P^-1 1 & 0 1 & 1 0 & -1 para , então temos:
Queremos que seja a matriz diagonal dada. Portanto:

Passo 6

Para encontrar P = [T]B^A 1 & 0 0 & 0 0 & -1 ^-1 , vamos rearranjar a equação acima:
No entanto, como a segunda coluna da matriz diagonal é zero, isso indica que precisamos ajustar nosso método. Em vez disso, vamos identificar os vetores da base diretamente, garantindo que a transformação os transforme de acordo com a matriz diagonal desejada.

Passo 7

Observando a matriz diagonal desejada:
1 & 0 0 & 0 0 & -1
Vemos que a transformação envia o primeiro vetor da base para o primeiro vetor de multiplicado por 1, e o segundo vetor de para o terceiro vetor de multiplicado por -1. O segundo componente da matriz sendo zero indica que não há contribuição desse vetor na segunda posição da base .

Passo 8

Vamos construir a base T(a1) = 1 cdot d1 . Sabemos que:
T(a2) = -1 cdot d3
Onde e são vetores da base , e , , são vetores da base . Precisamos expressar e em termos da base .

Passo 9

Usando a matriz T(a1) = 1 cdot b1 + 1 cdot b2 + 0 cdot b3 , temos:
T(a2) = 0 cdot b1 + 1 cdot b2 + (-1) cdot b3
d1 = b1 + b2
Portanto:
d3 = -b3
E como o segundo vetor não está envolvido na transformação, podemos escolher qualquer vetor que complete a base . Vamos escolher .

Passo 10

Agora, expressamos a base D = d1, d2, d3 = b1 + b2, b2, -b3 em termos dos vetores da base :

Resposta

A base é dada por .

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