Considerando A=(1,-1),(0,2) e B=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases e [T]B^A= [cc1 & 0 1 & 1 0 & -1] : Determine T(x, y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de transformação linear. As bases são 1 & 0 1 & 1 0 & -1 e . A matriz da transformação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Transformações Lineares e Mudança de Base. Precisamos saber como aplicar a matriz da transformação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é a matriz que representa a transformação de uma base para uma base . Isso significa que para qualquer vetor na base , será um vetor na base .

Passo 3

Agora, para encontrar , precisamos expressar o vetor na base . Supondo que esteja na base canônica, devemos primeiro escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 4

Vamos chamar os vetores da base (x, y, z) = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 de , , e . Queremos encontrar coeficientes tais que:
Mas como nosso vetor tem apenas duas componentes, vamos considerar para simplificar.

Passo 5

Então, temos:
(x, y, 0) = c1 (1,0,-1) + c2 (0,1,2) + c3 (1,2,0)
Isso dá o sistema de equações:
c1 + c3 = x c2 + 2c3 = y - c1 + 2c2 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: c1 = 2 ( 2x - y3 ) = 4x - 2y3 => c3 = x - 2 ( 2x - y3 ) = x - 4x - 2y3 = 3x - 4x + 2y3 = -x + 2y3
Substituindo na primeira equação: =>
Na segunda equação: => => =>
Então:

Passo 7

Agora que temos 1 & 0 1 & 1 0 & -1 , aplicamos a matriz T(x, y) = [T]B^A c1 c2 = 1 cdot c1 + 0 cdot c2 1 cdot c1 + 1 cdot c2 0 cdot c1 - 1 cdot c2 = c1 c1 + c2 - c2 para encontrar . A matriz é:
Multiplicamos essa matriz pelos coeficientes e :

Passo 8

Substituindo os valores de T(x, y) = 4x - 2y3 4x - 2y3 + 2x - y3 - 2x - y3 = 4x - 2y3 6x - 3y3 -2x + y3 = 4x - 2y3 2x - y -2x + y3 e :

Resposta

Então, a transformação linear T(x, y) = ( 4x - 2y3,, 2x - y,, -2x + y3 ) é:

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