Seja T o operador linear de R^3 tal que T(x, y, z)=(2 x-y+z, x+y, 3 x+y+z). Verifique se T é bijetora, se for, determine T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear T(x, y, z) = (2x - y + z, , x + y, , 3x + y + z) que transforma vetores de para da seguinte forma:
Nosso objetivo é verificar se é bijetora (ou seja, se é injetora e sobrejetora) e, se for o caso, encontrar a inversa . Para isso, vamos precisar entender um pouco de matrizes e determinantes, que são ferramentas chave na teoria das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 2 & -1 & 1 1 & 1 & 0 3 & 1 & 1 por uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz tal que multiplicar essa matriz por um vetor dá o resultado da transformação. Para , a matriz fica assim:
Aqui, cada coluna da matriz representa como os vetores da base canônica (como , , ) são transformados por .

Passo 3

Agora, para saber se det(A) = 2 cdot 1 & 0 1 & 1 - (-1) cdot 1 & 0 3 & 1 + 1 cdot 1 & 1 3 & 1 é bijetora, precisamos verificar se a matriz 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (1)(0) = 1 é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de 1 & 0 3 & 1 = (1)(1) - (3)(0) = 1 :
1 & 1 3 & 1 = (1)(1) - (3)(1) = 1 - 3 = -2
Calculando os menores:
det(A) = 2(1) - (-1)(1) + 1(-2) = 2 + 1 - 2 = 1
Substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível, e portanto, é bijetora.

Passo 4

Como A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é bijetora, vamos encontrar a inversa A^-1 = adj(A) . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa C11 = 1 & 0 1 & 1 = 1(1) - 0(1) = 1 . Já que C12 = - 1 & 0 3 & 1 = -1 , o cálculo fica mais simples.
Para encontrar C13 = 1 & 1 3 & 1 = -2 , usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
C21 = - -1 & 1 1 & 1 = -((-1)(1) - (1)(1)) = -(-1 -1) = 2
Como C22 = 2 & 1 3 & 1 = 2(1) - 1(3) = 2 - 3 = -1 , temos:
C23 = - 2 & -1 3 & 1 = -((2)(1) - (-1)(3)) = -(2 + 3) = -5
Vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofactores.
Calculando os cofatores:
C31 = -1 & 1 1 & 0 = (-1)(0) - (1)(1) = -1
C32 = - 2 & 1 1 & 0 = -((2)(0) - (1)(1)) = -(-1) = 1
C33 = 2 & -1 1 & 1 = 2(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3
Cof(A) = 1 & -1 & -2 2 & -1 & -5 -1 & 1 & 3
adj(A) = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 -2 & -5 & 3
A^-1 = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 -2 & -5 & 3
Então, a matriz dos cofactores é:
E a adjunta é a transposta dessa matriz:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos a matriz inversa x y z = A^-1 u v w = 1 & 2 & -1 -1 & -1 & 1 -2 & -5 & 3 u v w , podemos expressar a transformação inversa x = 1 cdot u + 2 cdot v - 1 cdot w = u + 2v - w . Se y = -1 cdot u - 1 cdot v + 1 cdot w = -u - v + w , então:
z = -2 cdot u - 5 cdot v + 3 cdot w = -2u -5v +3w
Fazendo a multiplicação:
T^-1(u, v, w) = (u + 2v - w, , -u - v + w, , -2u -5v +3w)
Então, a transformação inversa é:

Resposta

Sim, a transformação T^-1(u, v, w) = (u + 2v - w, , -u - v + w, , -2u -5v +3w) é bijetora e sua inversa é dada por:

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