Seja o operador linear de tal que . Verifique se T é bijetora, se for, determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que transforma vetores de para da seguinte forma:
Nosso objetivo é verificar se é bijetora (ou seja, se é injetora e sobrejetora) e, se for o caso, encontrar a inversa . Para isso, vamos precisar entender um pouco de matrizes e determinantes, que são ferramentas chave na teoria das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz tal que multiplicar essa matriz por um vetor dá o resultado da transformação. Para , a matriz fica assim:
Aqui, cada coluna da matriz representa como os vetores da base canônica (como , , ) são transformados por .
Passo 3
Agora, para saber se é bijetora, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando os menores:
Substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível, e portanto, é bijetora.
Passo 4
Como é bijetora, vamos encontrar a inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa . Já que , o cálculo fica mais simples.
Para encontrar , usamos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
Como , temos:
Vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofactores.
Calculando os cofatores:
Então, a matriz dos cofactores é:
E a adjunta é a transposta dessa matriz:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos a matriz inversa , podemos expressar a transformação inversa . Se , então:
Fazendo a multiplicação:
Então, a transformação inversa é:
Resposta
Sim, a transformação é bijetora e sua inversa é dada por: