Sejam A=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) e B=(1,0,0),(0,1,0),(0,2,1) bases de R^3 : Determine [v]A, quando v=(-5,8,-5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor na base de . Ou seja, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os vetores da base e resolver para encontrar os coeficientes que nos dão as coordenadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que v = c1 cdot (1, 0, 1) + c2 cdot (0, 1, 1) + c3 cdot (1, 1, 1) pode ser escrito como:
Aqui, são os coeficientes que queremos encontrar, que serão as coordenadas de na base .

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
(-5, 8, -5) = (c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1,; c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1,; c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1)
Isso dá:
(-5, 8, -5) = (c1 + c3,; c2 + c3,; c1 + c2 + c3)

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
c1 + c3 = -5 c2 + c3 = 8 c1 + c2 + c3 = -5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar c1 = -5 - c3 em termos de c2 = 8 - c3 :
Da segunda equação, expressamos :

Passo 6

Agora, substituímos (-5 - c3) + (8 - c3) + c3 = -5 e -5 - c3 + 8 - c3 + c3 = -5 na terceira equação:
3 - c3 = -5
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para -c3 = -5 - 3 :
-c3 = -8
c3 = 8

Passo 8

Agora que temos c1 = -5 - 8 = -13 , substituímos de volta para encontrar c2 = 8 - 8 = 0 e :

Resposta

As coordenadas de [v]A = (-13,; 0,; 8) na base são:

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