Sejam e bases de : Determine , quando

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor na base de . Ou seja, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os vetores da base e resolver para encontrar os coeficientes que nos dão as coordenadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que pode ser escrito como:
Aqui, são os coeficientes que queremos encontrar, que serão as coordenadas de na base .

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
Isso dá:

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Da segunda equação, expressamos :

Passo 6

Agora, substituímos e na terceira equação:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos , substituímos de volta para encontrar e :

Resposta

As coordenadas de na base são:

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