Com base na comprovação 1-(i), utilize para provar:
sinh x=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)! e cosh x=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!
Dica: sinh x=e^x-e^-x2 ; cosh x=e^x+e^-x2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar as séries de Taylor para as funções hiperbólicas sinh x e cosh x. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente séries de potências e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar das definições de sinh x e cosh x, além de saber manipular séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas que a dica nos deu:
sinh x = e^x - e^-x2
cosh x = e^x + e^-x2
Essas expressões são similares às funções trigonométricas, mas usadas no contexto das hipérboles.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para o e^x. A série de Taylor de e^x centrada em 0 é:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
E para e^-x, basta substituir x por -x:
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn!

Passo 4

Vamos usar essas séries para expressar sinh x e cosh x.
Primeiro, para sinh x:
sinh x = e^x - e^-x2 = 12 ( sumn=0^infty x^nn! - sumn=0^infty (-x)^nn! )

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Ao subtrair as duas séries, os termos de ordem par se cancelam, porque x^2n e (-x)^2n são iguais. O que sobra são os termos de ordem ímpar, que ficam com coeficientes duplos:
sinh x = 12 ( 2 sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! ) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)!

Passo 6

Fazendo o mesmo para cosh x:
cosh x = e^x + e^-x2 = 12 ( sumn=0^infty x^nn! + sumn=0^infty (-x)^nn! )

Passo 7

Dessa vez, ao somar as séries, os termos de ordem ímpar se cancelam e os de ordem par se duplicam:
cosh x = 12 ( 2 sumn=0^infty x^2n(2n)! ) = sumn=0^infty x^2n(2n)!

Resposta

Portanto, provamos que:
sinh x = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! e cosh x = sumn=0^infty x^2n(2n)!

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