Com base na comprovação 1-(i), utilize para provar:
Dica:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar as séries de Taylor para as funções hiperbólicas
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente séries de potências e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar das definições de
e
, além de saber manipular séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas que a dica nos deu:
Essas expressões são similares às funções trigonométricas, mas usadas no contexto das hipérboles.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para o
. A série de Taylor de
centrada em 0 é:
E para
, basta substituir
por
:
Passo 4
Vamos usar essas séries para expressar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Ao subtrair as duas séries, os termos de ordem par se cancelam, porque
e
são iguais. O que sobra são os termos de ordem ímpar, que ficam com coeficientes duplos:
Passo 6
Fazendo o mesmo para
:
Passo 7
Dessa vez, ao somar as séries, os termos de ordem ímpar se cancelam e os de ordem par se duplicam:
Resposta
Portanto, provamos que: