Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a série infinita de
usando a Expansão de Taylor centrada em
. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e derivadas, pois vamos usá-las para encontrar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas dessa função.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada é:
A terceira derivada é:
E assim por diante. Observamos que a
-ésima derivada segue o padrão:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Passo 6
Simplificando a fração
, temos:
Então a série fica:
Passo 7
Podemos reescrever o índice para começar em
, ajustando os termos:
Mas para se alinhar com a forma apresentada na questão, podemos reindexar para obter:
Passo 8
Portanto, chegamos à série infinita que representa
usando a Expansão de Taylor centrada em
.
Resposta
A série de
centrada em
é: