Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. ln (1+x)=sumn=0^infty x^nn(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a série infinita de ln(1+x) usando a Expansão de Taylor centrada em x=0. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e derivadas, pois vamos usá-las para encontrar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é x=0. A fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) centrada em x=0 (também chamada de série de Maclaurin) é:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Aqui, f^(n)(0) representa a n-ésima derivada de f avaliada em 0, e n! é o fatorial de n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função f(x) = ln(1+x). Primeiro, precisamos encontrar as derivadas dessa função.
A primeira derivada de f(x) é:
f'(x) = 11+x
A segunda derivada é:
f''(x) = -1(1+x)^2
A terceira derivada é:
f'''(x) = 2(1+x)^3
E assim por diante. Observamos que a n-ésima derivada segue o padrão:
f^(n)(x) = (-1)^n-1 (n-1)! 1(1+x)^n

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em x=0:
f^(n)(0) = (-1)^n-1 (n-1)! 1(1+0)^n = (-1)^n-1 (n-1)!

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
ln(1+x) = sumn=1^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=1^infty (-1)^n-1 (n-1)!n! x^n

Passo 6

Simplificando a fração (n-1)!n!, temos:
(n-1)!n! = 1n
Então a série fica:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n

Passo 7

Podemos reescrever o índice para começar em n=0, ajustando os termos:
ln(1+x) = sumn=0^infty (-1)^nn+1 x^n+1
Mas para se alinhar com a forma apresentada na questão, podemos reindexar para obter:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n

Passo 8

Portanto, chegamos à série infinita que representa ln(1+x) usando a Expansão de Taylor centrada em x=0.

Resposta

A série de ln(1+x) centrada em x=0 é:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n

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