Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. 11+x=sumn=0^infty x^n(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a função 11+x pode ser escrita como uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em x=0. Ou seja, mostrar que:
11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n
Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de potências e a expansão de funções usando a fórmula de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) centrada em x=a é uma maneira de expressar f(x) como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de f em a. No nosso caso, como estamos centrando em x=0, chamamos de série de Maclaurin.

Passo 3

Agora, consideramos a função f(x) = 11+x. Queremos encontrar sua série de Maclaurin, ou seja, expandi-la em torno de x=0. A fórmula geral da série de Maclaurin é:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Onde f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(x) = 11+x:
  • Primeira derivada:
f'(x) = -1(1+x)^2
  • Segunda derivada:
f''(x) = 2(1+x)^3
  • Terceira derivada:
f'''(x) = -6(1+x)^4
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas:
f^(n)(x) = (-1)^n cdot n! cdot 1(1+x)^n+1

Passo 5

Avaliaremos agora as derivadas em x=0:
f^(n)(0) = (-1)^n cdot n! cdot 1(1+0)^n+1 = (-1)^n cdot n!

Passo 6

Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=0^infty (-1)^n cdot n!n! x^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n

Resposta

Portanto, mostramos que:
11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n

Exercícios relacionados