Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a função
pode ser escrita como uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
. Ou seja, mostrar que:
Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de potências e a expansão de funções usando a fórmula de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
é uma maneira de expressar
como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de
em
. No nosso caso, como estamos centrando em
, chamamos de série de Maclaurin.
Passo 3
Agora, consideramos a função
. Queremos encontrar sua série de Maclaurin, ou seja, expandi-la em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin é:
Onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas:
Passo 5
Avaliaremos agora as derivadas em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:
Resposta
Portanto, mostramos que: