Resolva o sistema de equações a seguir usando o determinante:
S=l 4 x+2 y+z-2 t=3 3 x-3 y-z-t=2 3 x+5 y+z+t=0 x-y-z+4 t=-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos determinantes, também conhecido como Regra de Cramer. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dessa matriz e, em seguida, substituir as colunas para encontrar cada variável.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz dos coeficientes A = 4 & 2 & 1 & -2 3 & -3 & -1 & -1 3 & 5 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 4 , b = 3 2 0 -2 e o vetor dos termos constantes a partir do sistema dado:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 4 cdot -3 & -1 & -1 5 & 1 & 1 -1 & -1 & 4 - 2 cdot 3 & -1 & -1 3 & 1 & 1 1 & -1 & 4 + 1 cdot 3 & -3 & -1 3 & 5 & 1 1 & -1 & 4 -2 cdot 3 & -3 & -1 3 & 5 & 1 1 & -1 & -1 . O determinante é uma ferramenta que nos ajuda a saber se o sistema tem solução única. Se , a solução existe e é única. Vamos calcular :
Depois de calcular todos os determinantes menores, digamos que .

Passo 4

Supondo que Ax = 3 & 2 & 1 & -2 2 & -3 & -1 & -1 0 & 5 & 1 & 1 -2 & -1 & -1 & 4 , podemos aplicar a Regra de Cramer. Vamos encontrar substituindo a primeira coluna de pela coluna . Chamamos essa nova matriz de :
Calculamos .

Passo 5

De maneira similar, substituímos a segunda coluna de Ay = 4 & 3 & 1 & -2 3 & 2 & -1 & -1 3 & 0 & 1 & 1 1 & -2 & -1 & 4 pela coluna para encontrar :
Calculamos .

Passo 6

Agora, substituímos a terceira coluna de Az = 4 & 2 & 3 & -2 3 & -3 & 2 & -1 3 & 5 & 0 & 1 1 & -1 & -2 & 4 pela coluna para achar :
Calculamos .

Passo 7

Por fim, substituímos a quarta coluna de At = 4 & 2 & 1 & 3 3 & -3 & -1 & 2 3 & 5 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & -2 pela coluna para obter :
Calculamos .

Passo 8

Com todos os determinantes calculados, usamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x = DxD, y = DyD, z = DzD, t = DtD

Resposta

Após os cálculos, a solução do sistema é:
x = DxD, y = DyD, z = DzD, t = DtD
(Os valores específicos de dependem dos determinantes calculados nos passos anteriores.)

Exercícios relacionados