Com base nas dicas dadas, mostre que
Dica: Multiplique por e observe que a derivada do denominador da fração resultante está no seu numerador.
OBS. : Prova - se (veja abaixo) que
e que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral de cossec x. A matéria aqui é cálculo integral, e vamos precisar usar uma técnica de multiplicação por uma fração conveniente para simplificar a integral. A dica nos orienta a multiplicar cossec x por uma fração específica que facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar cossec x por cossec x - cotg xcossec x - cotg x. Isso pode parecer estranho, mas o objetivo é facilitar a integração ao criar uma expressão cuja derivada estamos familiarizados.
integral cossec x , dx = integral cossec x cdot cossec x - cotg xcossec x - cotg x , dx
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os numeradores, temos:
cossec x cdot (cossec x - cotg x) = cossec^2 x - cossec x cdot cotg x
Então, a integral fica:
integral cossec^2 x - cossec x cdot cotg xcossec x - cotg x , dx
Passo 4
Observe que o denominador da fração é cossec x - cotg x. Vamos calcular a derivada desse denominador para ver se coincide com o numerador:
ddx (cossec x - cotg x) = -cossec x cdot cotg x + cossec^2 x
Isso é exatamente igual ao numerador!
Passo 5
Com isso, nossa integral se transforma em:
integral d(cossec x - cotg x)cossec x - cotg x , dx
Passo 6
Sabemos que a integral de f'(x)f(x) , dx é ln |f(x)| + C. Aplicando isso aqui:
integral d(cossec x - cotg x)cossec x - cotg x , dx = ln |cossec x - cotg x| + C
Resposta
integral cossec x , dx = ln |cossec x - cotg x| + C, C in R