Com base nas dicas dadas, mostre que

Dica: Multiplique por e observe que a derivada do denominador da fração resultante está no seu numerador.
OBS. : Prova - se (veja abaixo) que
e que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar a integral de . A matéria aqui é cálculo integral, e vamos precisar usar uma técnica de multiplicação por uma fração conveniente para simplificar a integral. A dica nos orienta a multiplicar por uma fração específica que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar por . Isso pode parecer estranho, mas o objetivo é facilitar a integração ao criar uma expressão cuja derivada estamos familiarizados.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os numeradores, temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Observe que o denominador da fração é . Vamos calcular a derivada desse denominador para ver se coincide com o numerador:
Isso é exatamente igual ao numerador!

Passo 5

Com isso, nossa integral se transforma em:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Aplicando isso aqui:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral.
Calcule a integral.
Calcule as integrais.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)