Calcule a integral.
integral0^pi / 4 cos 2 theta imath+sen 2 theta jmath+theta sen theta k d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de um vetor que tem três componentes: cos 2theta imath, sen 2theta jmath e theta sen theta k, indo de 0 até pi/4. Basicamente, vamos integrar cada uma dessas componentes separadamente usando conhecimentos de cálculo de integrais de funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente cos 2theta imath. A integral de cos 2theta em relação a theta é:
integral cos 2theta , dtheta = 12 sen 2theta + C

Passo 3

Agora, vamos para a componente sen 2theta jmath. A integral de sen 2theta é:
integral sen 2theta , dtheta = -12 cos 2theta + C

Passo 4

Por último, temos a componente mais trabalhosa: theta sen theta k. Para integrar theta sen theta, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = theta Rightarrow du = dtheta
dv = sen theta , dtheta Rightarrow v = -cos theta
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral theta sen theta , dtheta = -theta cos theta + integral cos theta , dtheta = -theta cos theta + sen theta + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada integral definida de 0 a pi/4.
Para cos 2theta imath:
[ 12 sen 2theta ]0^pi/4 = 12 sen(pi2) - 12 sen(0) = 12 (1) - 0 = 12
Para sen 2theta jmath:
[ -12 cos 2theta ]0^pi/4 = -12 cos(pi2) + 12 cos(0) = -12(0) + 12(1) = 12
Para theta sen theta k:
[ -theta cos theta + sen theta ]0^pi/4 = ( -pi4 cos(pi4) + sen(pi4) ) - ( 0 + 0 )
Sabendo que cos(pi4) = sen(pi4) = raiz22:
-pi4 cdot raiz22 + raiz22 = raiz22 (1 - pi4)

Resposta

A integral calculada é:
12 imath + 12 jmath + raiz22 (1 - pi4) k

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