Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
Vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição e integração por partes, para resolver cada parte dessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, vamos usar a substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar .

Passo 5

A integral de é:
Multiplicando pelo 9:

Passo 6

Agora, voltamos para :
Essa é a solução da primeira parte da integral.

Passo 7

Vamos para a segunda integral:
Aqui, vamos usar a substituição também. Seja . Então, , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
Como , substituímos por :

Passo 9

Agora, vamos resolver usando integração por partes. Seja:
Então,

Passo 10

Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):

Passo 11

Voltando à nossa integral:

Resposta

Juntando as duas partes, a integral completa é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Com base nas dicas dadas, mostre que

Dica: Multiplique por e observe que a derivada do denominador da fração resultante está no seu numerador.
OBS. : Prova - se (veja abaixo) que
e que
Calcule a integral.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)