Calcule as integrais.
integral 9(y+3)^4+y^3 e^y^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
integral ( 9(y+3)^4 + y^3 e^y^2 ) dy
Vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição e integração por partes, para resolver cada parte dessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
integral 9(y+3)^4 dy + integral y^3 e^y^2 dy

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral 9(y+3)^4 dy
Aqui, vamos usar a substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 9u^4 du = 9 integral u^-4 du
Agora, vamos integrar .

Passo 5

A integral de integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C é:
9 times ( -13u^3 ) = -3u^3
Multiplicando pelo 9:

Passo 6

Agora, voltamos para -3(y+3)^3 + C :
Essa é a solução da primeira parte da integral.

Passo 7

Vamos para a segunda integral:
integral y^3 e^y^2 dy
Aqui, vamos usar a substituição também. Seja . Então, , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
integral y^3 e^u times du2y = 12 integral y^2 e^u du
Como 12 integral u e^u du , substituímos por :

Passo 9

Agora, vamos resolver v = u dw = e^u du usando integração por partes. Seja:
dv = du w = e^u
Então,

Passo 10

Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C ):

Passo 11

Voltando à nossa integral:
12 (u e^u - e^u) + C = 12 y^2 e^y^2 - 12 e^y^2 + C

Resposta

Juntando as duas partes, a integral completa é:
-3(y+3)^3 + 12 y^2 e^y^2 - 12 e^y^2 + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados