Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial usando a função erro, que é definida por:
Além disso, precisamos resolver o problema de valor inicial (PVI) com a condição e, se possível, representar graficamente as soluções. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que seja mais fácil de resolver. A equação dada é:
Podemos reorganizar para que fique na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver equações diferenciais lineares. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Sabemos que a integral de está relacionada à função erro:
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial dada e a condição .

Exercícios relacionados

Resolva as equações abaixo:
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua .
, donde
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo: