Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação
em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição
e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
usando a função erro, que é definida por:
Além disso, precisamos resolver o problema de valor inicial (PVI) com a condição
e, se possível, representar graficamente as soluções. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que seja mais fácil de resolver. A equação dada é:
Podemos reorganizar para que fique na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver equações diferenciais lineares. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Sabemos que a integral de
está relacionada à função erro:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
.
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é:
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial dada e a condição
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações abaixo:
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua
.
, donde
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo: