Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação d y / d x=1+2 x y em termos da função erro:
erf(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t
Resolva o PVI para a condição y(0)=2 e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 dt usando a função erro, que é definida por:
Além disso, precisamos resolver o problema de valor inicial (PVI) com a condição e, se possível, representar graficamente as soluções. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que seja mais fácil de resolver. A equação dada é:
dydx = 1 + 2xy
Podemos reorganizar para que fique na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dydx - 2x y = 1
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é essencial para resolver equações diferenciais lineares. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2x dx = e^-x^2 é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-x^2 dydx - 2x e^-x^2 y = e^-x^2
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto ddx ( e^-x^2 y ) = e^-x^2 :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx ( e^-x^2 y ) dx = integral e^-x^2 dx :
e^-x^2 y = integral e^-x^2 dx + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Sabemos que a integral de integral e^-x^2 dx = raizpi2 erf(x) + C está relacionada à função erro:
e^-x^2 y = raizpi2 erf(x) + C
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Agora, resolvemos para y = e^x^2 ( raizpi2 erf(x) + C ) :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial 2 = e^0 ( raizpi2 erf(0) + C ) para encontrar o valor de 2 = C :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:
y = e^x^2 ( 2 + raizpi2 erf(x) )
Essa é a solução que satisfaz a equação diferencial dada e a condição .

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