Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua y(x).
(1+x^2) dy/dx + 2xy = f(x), y(0) = 0, donde
f(x) = { x, 0 <= x < 1; -x, x >= 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, depois, usar um software gráfico para desenhar a função contínua .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar tudo mais claro. Temos:
Onde é uma função definida por partes:
E a condição inicial é .

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é dividir toda a equação por para deixar a equação na forma padrão de uma equação linear:

Passo 4

Agora, identificamos os termos para usar o método do fator integrante. A fórmula geral para uma equação linear é:
Onde:

Passo 5

Vamos calcular o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pela :
Note que isso já está na nossa equação inicial, o que confirma o cálculo do fator integrante.

Passo 7

A próxima etapa é escrever a equação como a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 9

Vamos calcular a integral de . Como é definida por partes, precisamos considerar dois casos:
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,

Passo 10

Aplicando a condição inicial no primeiro caso ( ):
Então, para :
Isolando :

Passo 11

Para , precisamos continuar a solução da equação considerando a continuidade da função no ponto .
Primeiro, encontramos usando a solução do primeiro caso:
Agora, resolvemos a equação para :
Usando :
Então, para :
Isolando :

Passo 12

Agora, reunimos as soluções dos dois casos:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Para representar graficamente a função contínua , utilize um software gráfico como o GeoGebra ou o Desmos, plotando as duas expressões em seus respectivos intervalos.

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