Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua
.
, donde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação e, depois, usar um software gráfico para desenhar a função contínua
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar tudo mais claro. Temos:
Onde
é uma função definida por partes:
E a condição inicial é
.
Passo 3
A primeira coisa que vamos fazer é dividir toda a equação por
para deixar a equação na forma padrão de uma equação linear:
Passo 4
Agora, identificamos os termos para usar o método do fator integrante. A fórmula geral para uma equação linear é:
Onde:
Passo 5
Vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pela
:
Note que isso já está na nossa equação inicial, o que confirma o cálculo do fator integrante.
Passo 7
A próxima etapa é escrever a equação como a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 9
Vamos calcular a integral de
. Como
é definida por partes, precisamos considerar dois casos:
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,
Passo 10
Aplicando a condição inicial
no primeiro caso (
):
Então, para
:
Isolando
:
Passo 11
Para
, precisamos continuar a solução da equação considerando a continuidade da função
no ponto
.
Primeiro, encontramos
usando a solução do primeiro caso:
Agora, resolvemos a equação para
:
Usando
:
Então, para
:
Isolando
:
Passo 12
Agora, reunimos as soluções dos dois casos:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Para representar graficamente a função contínua
, utilize um software gráfico como o GeoGebra ou o Desmos, plotando as duas expressões em seus respectivos intervalos.
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Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação
em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição
e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.