Resolva as equações abaixo:
(2x + y/(1 + x^2y^2)) dx + (x/(1 + x^2y^2) - 2y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de equações exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada de em relação a é igual à derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando :
Simplificando:

Passo 4

Calculando :
Também simplificando:

Passo 5

Como vemos, . Isso significa que a equação é exata!

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma função tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Integrando:
Aqui, usamos a substituição para integrar .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 9

Portanto, a função completa é:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:

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