Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de equações exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada de
em relação a
é igual à derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Simplificando:
Passo 4
Calculando
:
Também simplificando:
Passo 5
Como vemos,
. Isso significa que a equação é exata!
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Integrando:
Aqui, usamos a substituição
para integrar
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Passo 9
Portanto, a função
completa é:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação é: