Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de equações exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Chamamos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada de em relação a é igual à derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando :
Simplificando:

Passo 4

Calculando :
Também simplificando:

Passo 5

Como vemos, . Isso significa que a equação é exata!

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma função tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Integrando:
Aqui, usamos a substituição para integrar .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 9

Portanto, a função completa é:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Resolva as equações abaixo:
Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo: