Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial da forma:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser integradas diretamente para achar uma função solução. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
A equação fica então:
Para verificar se é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais m esclaras de em relação a e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular:
E:
Observa que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata! Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função . Começamos integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
  • (pois é tratado como constante)
Então:
Aqui, é uma função que depende só de , já que a derivada em relação a não a detecta.

Passo 5

Para determinar , vamos usar a segunda equação:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Simplificando:
Como não pode depender de , isso só é possível se , o que não é verdade para todo . Parece que houve um erro na integração anterior. Vamos revisar.

Passo 6

Na verdade, ao integrar , a função correta é:
Agora, derivando novamente:
Igualando a :
Percebemos que:
Esse termo não deveria aparecer, indicando que possivelmente houve um erro na identificação de ou na integração. Vamos revisar os cálculos iniciais.

Passo 7

Após revisitar os passos, percebemos que a equação inicial está corretamente identificada como exata. Porém, ao integrar , interpretamos mal os termos. Vamos tentar novamente.
Integrando em relação a :
Derivando em relação a :
Igualando a :
Simplificando:
Então:

Passo 8

Agora, integrando para encontrar :
Onde é a constante de integração. Então, a função completa é:

Passo 9

Para resolver a equação diferencial, igualamos a uma constante:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo: