Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial da forma:
Aqui, o conteúdo principal é equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser integradas diretamente para achar uma função solução. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
A equação fica então:
Para verificar se é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais m esclaras de
em relação a
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular:
E:
Observa que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
-
-
(pois é tratado como constante) -
Então:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a derivada em relação a
não a detecta.
Passo 5
Para determinar
, vamos usar a segunda equação:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Como
não pode depender de
, isso só é possível se
, o que não é verdade para todo
. Parece que houve um erro na integração anterior. Vamos revisar.
Passo 6
Na verdade, ao integrar
, a função
correta é:
Agora, derivando novamente:
Igualando a
:
Percebemos que:
Esse termo
não deveria aparecer, indicando que possivelmente houve um erro na identificação de
ou na integração. Vamos revisar os cálculos iniciais.
Passo 7
Após revisitar os passos, percebemos que a equação inicial está corretamente identificada como exata. Porém, ao integrar
, interpretamos mal os termos. Vamos tentar novamente.
Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Igualando a
:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, integrando
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Então, a função
completa é:
Passo 9
Para resolver a equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação
em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição
e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo: