Resolva as equações abaixo:
(y e^(x y) - 1 / y) dx + (x e^(x y) + x / y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial na forma é exata se .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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