Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Isso está relacionado com o estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial na forma
é exata se
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua
.
, donde
Resolva as equações abaixo:
Com base no Exemplo 7 do livro texto (página 63), expresse a solução geral a equação
em termos da função erro:
Resolva o PVI para a condição
e com o auxílio de uma ferramenta gráfica, represente as curvas integrais da solução com destaque para a solução do PVI.
Resolva as equações abaixo: