Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10 % das contas dos seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os itens a seguir, compare a solução exata com aquela obtida por meio de aproximação da variável aleatória normal.
(a) Se 20 contas são enviadas em um dia pela companhia, qual a probabilidade de que menos de 3 sejam pagas em atraso?
(b) se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso.

(R:(a) 0,6769 (exata) e 0,6443 (aprox. normal) (b) 0,3306 (exata) e 0,3409 (aprox. normal) )

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A Companhia Telefônica sabe que 10% das contas dos clientes são pagas com atraso. Temos dois casos para analisar: o primeiro com 20 contas enviadas em um dia e o segundo com 150 contas enviadas mensalmente. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial e aproximação normal para resolver os dois itens.

Passo 2

Item (a): Se 20 contas são enviadas em um dia, qual a probabilidade de que menos de 3 sejam pagas com atraso?
Aqui, temos uma situação de probabilidade binomial, onde:
  • n = 20 (número de tentativas, ou contas enviadas)
  • p = 0,10 (probabilidade de sucesso, ou seja, pagar com atraso)
  • x = número de sucessos (contas pagas com atraso)
Queremos calcular P(X < 3), ou seja, a probabilidade de que 0, 1 ou 2 contas sejam pagas com atraso.
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial.

Passo 3

Vamos calcular para x = 0, 1 e 2:
  • Para x = 0:
P(X = 0) = binom200 (0,10)^0 (0,90)^20 = 1 times 1 times 0,90^20 approx 0,1216
  • Para x = 1:
P(X = 1) = binom201 (0,10)^1 (0,90)^19 = 20 times 0,10 times 0,90^19 approx 0,2702
  • Para x = 2:
P(X = 2) = binom202 (0,10)^2 (0,90)^18 = 190 times 0,01 times 0,90^18 approx 0,2851

Passo 4

Somando essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,1216 + 0,2702 + 0,2851 = 0,6769

Passo 5

Agora, vamos fazer a aproximação normal para o mesmo problema. Primeiro, calculamos a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
mu = n times p = 20 times 0,10 = 2
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz20 times 0,10 times 0,90 approx 1,3416
Usamos a fórmula de padronização para encontrar o valor z correspondente a x = 2,5 (usando a correção de continuidade):
z = 2,5 - 21,3416 approx 0,373
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade correspondente a z = 0,373 é aproximadamente 0,6443.

Passo 6

Item (b): Se 150 contas são enviadas mensalmente, qual a probabilidade de que 17 ou mais sejam pagas com atraso?
Primeiro, calculamos a probabilidade exata usando a distribuição binomial.
Aqui:
  • n = 150
  • p = 0,10
  • x ≥ 17

Passo 7

A probabilidade exata seria:
P(X >= 17) = sumk=17^150 binom150k (0,10)^k (0,90)^150 - k approx 0,3306

Passo 8

Agora, vamos à aproximação normal. Calculamos a média e o desvio padrão:
mu = n times p = 150 times 0,10 = 15
sigma = raiz150 times 0,10 times 0,90 approx 3,6742
Aplicamos a correção de continuidade para x = 16,5:
z = 16,5 - 153,6742 approx 0,4084
A probabilidade de z ser maior que 0,4084 é aproximadamente 0,3409.

Resposta

(a) A probabilidade exata é 0,6769 e a aproximação normal dá 0,6443.
(b) A probabilidade exata é 0,3306 e a aproximação normal dá 0,3409.

Exercícios relacionados