Encontre um vetor u unitário que seja ortogonal aos vetores v=(1,2,3) e w=(1,4,0).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos dois vetores, v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 0), e precisamos encontrar um vetor unitário u que seja ortogonal a ambos. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a v e w. Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é dado por:
v times w = ( v2 w3 - v3 w2, v3 w1 - v1 w3, v1 w2 - v2 w1 )

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nossos vetores:
v times w = ( 2 cdot 0 - 3 cdot 4, 3 cdot 1 - 1 cdot 0, 1 cdot 4 - 2 cdot 1 ) = (-12, 3, 2)
Então, o vetor u' = (-12, 3, 2) é ortogonal a v e w.

Passo 4

Agora, precisamos transformar u' em um vetor unitário. Para isso, calculamos a magnitude de u':
|u'| = raiz(-12)^2 + 3^2 + 2^2 = raiz144 + 9 + 4 = raiz157

Passo 5

Finalmente, dividimos cada componente de u' pela sua magnitude para obter o vetor unitário u:
u = ( -12raiz157, 3raiz157, 2raiz157 )

Resposta

Um vetor unitário que é ortogonal a v e w é:
u = ( -12raiz157, 3raiz157, 2raiz157 )

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