Sejam
e
vetores do espaço tais que
onde
representa o ângulo entre
e
. Determine coeficientes
e
reais de modo que o vetor
satisfaça simultaneamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com vetores no espaço e precisa encontrar os coeficientes
e
que fazem com que o vetor
satisfaça duas condições: o produto vetorial
seja o vetor nulo e o produto escalar
. Para isso, vamos usar conceitos de norma, ângulo entre vetores, produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição
. O produto vetorial de dois vetores é zero quando eles são paralelos. Isso significa que
e
devem estar na mesma direção, ou seja,
é um múltiplo de
.
Passo 3
Como
deve ser igual a um múltiplo de
, isso implica que a parte envolvendo
precisa desaparecer. Então, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
e
não são vetores nulos, a única soluç��o possível é
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, o vetor
fica simplificado para
. Vamos usar a outra condição:
.
Passo 5
O produto escalar
pode ser expandido usando a expressão de
:
Sabemos que:
Onde
,
e
. Calculando:
Passo 6
Substituindo de volta na equação do produto escalar:
Resolvendo para
:
Resposta
Os coeficientes são
e
.