Sejam v e w vetores do espaço tais que
|v|=5, |w|=2 e theta=pi3
onde theta representa o ângulo entre v e w. Determine coeficientes a e b reais de modo que o vetor u=a v+b w satisfaça simultaneamente:
u times v=0 e u cdot w=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com vetores no espaço e precisa encontrar os coeficientes e que fazem com que o vetor satisfaça duas condições: o produto vetorial seja o vetor nulo e o produto escalar . Para isso, vamos usar conceitos de norma, ângulo entre vetores, produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . O produto vetorial de dois vetores é zero quando eles são paralelos. Isso significa que e devem estar na mesma direção, ou seja, é um múltiplo de .

Passo 3

Como av + bw = kv deve ser igual a um múltiplo de (a - k)v + bw = 0 , isso implica que a parte envolvendo precisa desaparecer. Então, temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Como e não são vetores nulos, a única soluç��o possível é e .

Passo 4

Agora que sabemos que , o vetor fica simplificado para . Vamos usar a outra condição: .

Passo 5

O produto escalar av cdot w = 12 pode ser expandido usando a expressão de v cdot w = |v| |w| cos(theta) :
v cdot w = 5 times 2 times cos(pi3) = 10 times 12 = 5
Sabemos que:
Onde , e . Calculando:

Passo 6

Substituindo de volta na equação do produto escalar:
a times 5 = 12
Resolvendo para a = 125 = 2,4 :

Resposta

Os coeficientes são e .

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