Sejam e vetores do espaço tais que
onde representa o ângulo entre e . Determine coeficientes e reais de modo que o vetor satisfaça simultaneamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com vetores no espaço e precisa encontrar os coeficientes e que fazem com que o vetor satisfaça duas condições: o produto vetorial seja o vetor nulo e o produto escalar . Para isso, vamos usar conceitos de norma, ângulo entre vetores, produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição . O produto vetorial de dois vetores é zero quando eles são paralelos. Isso significa que e devem estar na mesma direção, ou seja, é um múltiplo de .

Passo 3

Como deve ser igual a um múltiplo de , isso implica que a parte envolvendo precisa desaparecer. Então, temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Como e não são vetores nulos, a única soluç��o possível é e .

Passo 4

Agora que sabemos que , o vetor fica simplificado para . Vamos usar a outra condição: .

Passo 5

O produto escalar pode ser expandido usando a expressão de :
Sabemos que:
Onde , e . Calculando:

Passo 6

Substituindo de volta na equação do produto escalar:
Resolvendo para :

Resposta

Os coeficientes são e .

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