Um duto retangular de chapa de aço comercial (rugosidade 0,045 mm ) de 0,3 times 0,6 m é utilizado para aquecer uma vazão de ar de 2 m^3 / s de 20^circ C a 40^circ C, através de um sistema de resistências elétricas que garantem um fluxo de calor constante. Calcule
c) O comprimento que deve ter o duto para que a temperatura da parede na saida năo ultrapasse 60^circ C ?(1,0)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para calcular o comprimento do duto necessário para que a temperatura da parede na saída não ultrapasse . Estamos lidando com transferência de calor em dutos e precisamos entender como o calor é transferido das paredes para o ar que flui dentro do duto. Para isso, vamos precisar das propriedades do ar, das dimensões do duto, do fluxo de ar e das temperaturas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o calor fornecido pelas resistências elétricas é transferido do duto para o ar que o percorre. Essa transferência de calor ocorre principalmente por convecção, que depende da diferença de temperatura entre a parede do duto e o ar, bem como das propriedades do ar e da geometria do duto.

Passo 3

Vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer o ar de Q = dotm cdot cp cdot De a . A quantidade de calor pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é a vazão mássica do ar.
  • é o calor específico do ar a pressão constante.
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a vazão mássica dotm = rho cdot dotV = 1,204 cdot 2 = 2,408 kg/s . Sabemos que a vazão volumétrica é , e a massa específica do ar a é aproximadamente . Assim:

Passo 5

O calor específico do ar Q = 2,408 cdot 1005 cdot 20 = 48.339,6 W a pressão constante é aproximadamente . A variação de temperatura é de . Portanto, a quantidade de calor necessária é:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar esse calor com a transferência de calor pelas paredes do duto. A taxa de transferência de calor por convecção Q = h cdot A cdot De pode ser expressa por:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • é a área de superfície do duto.
  • é a diferença de temperatura logarítmica média.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular a área de superfície A = 2(L cdot 0,3) + 2(L cdot 0,6) = 2 times 0,3L + 2 times 0,6L = 1,8L m^2 do duto. Como o duto é retangular com dimensões m e comprimento , a área é:

Passo 8

A diferença de temperatura média logarítmica De pode ser aproximada pela diferença entre a temperatura da parede na entrada De e na saída , considerando que a temperatura do ar aumenta ao longo do duto. Assumindo uma variação linear:
Mas para simplificar, assumiremos que é constante, então:
E usaremos

Passo 9

Isolando Q = h cdot A cdot De na equação de transferência de calor:
Para prosseguir, precisamos determinar o coeficiente de transferência de calor . Isso envolve cálculos mais detalhados de convecção forçada em dutos, onde podemos usar a correlação de Nusselt para fluxo completamente desenvolvido.

Passo 10

Utilizando a correlação de Nusselt para dutos retangulares com fluxo laminar ou turbulento, dependendo do número de Reynolds. Calculamos o número de Reynolds Re = rho cdot v cdot Dhmu :
v = 20,18 approx 11,11 m/s
Onde:
  • Dh = 4 cdot áreaperímetro molhado = 4 cdot 0,182(0,3 + 0,6) = 0,721,8 = 0,4 m é a velocidade do ar.
  • Re = 1,204 cdot 11,11 cdot 0,41,81 times 10^-5 approx 2.947.547 é o diâmetro hidráulico.
  • é a viscosidade dinâmica do ar.
Calculamos , onde :
O diâmetro hidráulico para um duto retangular é:
áí
Assumindo :
Como , o fluxo é turbulento.

Passo 11

Para fluxo turbulento em dutos retangulares, a correlação de Dittus-Boelter pode ser utilizada para estimar o número de Nusselt Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^n :
Nu = 0,023 cdot (2.947.547)^0,8 cdot (0,71)^0,4 approx 0,023 cdot 1896,6 cdot 0,835 approx 36,6
Onde é o número de Prandtl e para aquecimento.
Para :

Passo 12

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor h = Nu cdot kDh :
h = 36,6 cdot 0,0260,4 approx 2,379 W/(m^2 cdot K)
Onde é a condutividade térmica do ar, aproximadamente :

Passo 13

Agora, podemos calcular o comprimento L = Qh cdot A cdot De:
48.339,6 = 2,379 cdot 1,8 cdot 20 cdot L Rightarrow L = 48.339,685,644 approx 564 m
Resolvendo para :

Resposta

O comprimento necessário do duto é de aproximadamente .

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