Sabe-se que o coeficiente de arrasto sobre uma esfera é minimo quando o número de Reynolds do escoamento em que ela está imersa vale 5 times 10^5 e o valor de CD neste ponto vale 0,1 . Qual deve ser a massa de uma esfera com 0,2 m de diâmetro para que ela consiga atingir a velocidade terminal neste ponto de menor coeficiente de arrasto quando em queda livre no ar a 30^circ C ? Qual sua velocidade terminal? (2,0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com diâmetro de que está caindo no ar a . Queremos descobrir qual deve ser a massa dessa esfera para que ela atinja a velocidade terminal no ponto onde o número de Reynolds ( ) é e o coeficiente de arrasto ( ) é 0,1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente o cálculo da velocidade terminal e a relação entre força de arrasto, massa e gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade terminal. Quando um objeto cai em um fluido (como o ar), ele acelera até que a força da gravidade seja equilibrada pela força de arrasto. Nesse ponto, a velocidade do objeto se estabiliza; essa é a velocidade terminal.
A força da gravidade é dada por:
Fgravidade = m cdot g
onde:
  • FD = 12 CD rho A v^2 é a massa da esfera,
  • m cdot g = 12 CD rho A v^2 é a aceleração da gravidade ( ).
A força de arrasto ( ) é dada por:
onde:
  • é o coeficiente de arrasto,
  • é a densidade do ar,
  • é a área da seção transversal da esfera,
  • é a velocidade terminal.
No equilíbrio, , então:

Passo 3

Precisamos encontrar a densidade do ar a . Usando a tabela de propriedades do ar, sabemos que a densidade do ar ( ) a é aproximadamente .

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal ( A = pi r^2 ) da esfera. A área de um círculo é:
A = pi (0,1)^2 = 0,01pi , m^2
Como o diâmetro da esfera é , o raio ( ) é :

Passo 5

Sabemos que o número de Reynolds ( Re = rho v dmu ) está relacionado à velocidade ( v = Re cdot murho cdot d ) pela fórmula:
v = 5 times 10^5 cdot 1,846 times 10^-51,164 cdot 0,2
onde:
  • v = 9,230,2328 é o diâmetro da esfera,
  • v approx 39,65 , m/s é a viscosidade dinâmica do ar.
Queremos que . Precisamos encontrar , mas primeiro, vamos rearranjar a fórmula para :
A viscosidade dinâmica do ar a é aproximadamente .
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora que temos a velocidade terminal ( m = 12 CD rho A v^2g ), vamos usar a equação do equilíbrio das forças para encontrar a massa ( m = 0,5 cdot 0,1 cdot 1,164 cdot 0,01pi cdot (39,65)^29,81 ).
Rearranjando a equação:
m = 0,05 cdot 1,164 cdot 0,0314 cdot 1572,129,81
Substituindo os valores:
m = 0,05 cdot 1,164 cdot 0,0314 cdot 1572,129,81
m approx 2,8709,81
m approx 0,293 , kg

Resposta

A massa da esfera deve ser aproximadamente e sua velocidade terminal é cerca de .

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