Sabe-se que o coeficiente de arrasto sobre uma esfera é minimo quando o número de Reynolds do escoamento em que ela está imersa vale
e o valor de
neste ponto vale 0,1 . Qual deve ser a massa de uma esfera com
de diâmetro para que ela consiga atingir a velocidade terminal neste ponto de menor coeficiente de arrasto quando em queda livre no ar a
? Qual sua velocidade terminal?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com diâmetro de
que está caindo no ar a
. Queremos descobrir qual deve ser a massa dessa esfera para que ela atinja a velocidade terminal no ponto onde o número de Reynolds (
) é
e o coeficiente de arrasto (
) é 0,1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente o cálculo da velocidade terminal e a relação entre força de arrasto, massa e gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a velocidade terminal. Quando um objeto cai em um fluido (como o ar), ele acelera até que a força da gravidade seja equilibrada pela força de arrasto. Nesse ponto, a velocidade do objeto se estabiliza; essa é a velocidade terminal.
A força da gravidade é dada por:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é a aceleração da gravidade ( ).
A força de arrasto (
) é dada por:
onde:
-
é o coeficiente de arrasto, -
é a densidade do ar, -
é a área da seção transversal da esfera, -
é a velocidade terminal.
No equilíbrio,
, então:
Passo 3
Precisamos encontrar a densidade do ar a
. Usando a tabela de propriedades do ar, sabemos que a densidade do ar (
) a
é aproximadamente
.
Passo 4
Vamos calcular a área da seção transversal (
) da esfera. A área de um círculo é:
Como o diâmetro da esfera é
, o raio (
) é
:
Passo 5
Sabemos que o número de Reynolds (
) está relacionado à velocidade (
) pela fórmula:
onde:
-
é o diâmetro da esfera, -
é a viscosidade dinâmica do ar.
Queremos que
. Precisamos encontrar
, mas primeiro, vamos rearranjar a fórmula para
:
A viscosidade dinâmica do ar a
é aproximadamente
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos a velocidade terminal (
), vamos usar a equação do equilíbrio das forças para encontrar a massa (
).
Rearranjando a equação:
Substituindo os valores:
Resposta
A massa da esfera deve ser aproximadamente
e sua velocidade terminal é cerca de
.