Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de , pede-se: Encontre função em termos de somatório, sabendo que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções que são séries de potências de , chamadas e . O objetivo aqui é encontrar uma nova função que é o resultado da divisão de por , ou seja, . Para isso, vamos trabalhar com somatórios que representam essas séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como uma série de potências funciona. Geralmente, uma função pode ser escrita como:
E da mesma forma, é:
Aqui, e são os coeficientes das séries.

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Para isso, vamos representar também como uma série de potências:
Nossa missão é descobrir como os coeficientes se relacionam com e .

Passo 4

Para dividir duas séries de potências, a gente usa a regra da divisão termo a termo. Isso significa que cada coeficiente de vai depender dos coeficientes de e de uma maneira específica.
A fórmula geral para encontrar é:
Isso quer dizer que, para cada termo , a gente subtrai a soma dos produtos dos coeficientes de e anteriores, e depois divide pelo coeficiente inicial .

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático para deixar claro. Suponha que:
Queremos encontrar tal que:
Multiplicando as séries, alinhando os termos de mesma potência e igualando com , temos:
E assim por diante para os termos seguintes.

Resposta

Assim, a função em termos de somatório fica:
Isso nos dá a série de potências para expressa em função dos coeficientes de e .

Exercícios relacionados

Construa uma função que seja contínua em e que seja diferenciável em todos os pontos exceto em .
Com base nas séries acima pede-se: Faça uma análise para cada uma das séries se elas divergem ou convergem. Se convergem, para qual valor elas convergem?
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique. .
Calcule as seguintes integrais: