Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de
, pede-se: Encontre função
em termos de somatório, sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções que são séries de potências de
, chamadas
e
. O objetivo aqui é encontrar uma nova função
que é o resultado da divisão de
por
, ou seja,
. Para isso, vamos trabalhar com somatórios que representam essas séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como uma série de potências funciona. Geralmente, uma função
pode ser escrita como:
E da mesma forma,
é:
Aqui,
e
são os coeficientes das séries.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Para isso, vamos representar
também como uma série de potências:
Nossa missão é descobrir como os coeficientes
se relacionam com
e
.
Passo 4
Para dividir duas séries de potências, a gente usa a regra da divisão termo a termo. Isso significa que cada coeficiente
de
vai depender dos coeficientes de
e
de uma maneira específica.
A fórmula geral para encontrar
é:
Isso quer dizer que, para cada termo
, a gente subtrai a soma dos produtos dos coeficientes de
e
anteriores, e depois divide pelo coeficiente inicial
.
Passo 5
Vamos ver um exemplo prático para deixar claro. Suponha que:
Queremos encontrar
tal que:
Multiplicando as séries, alinhando os termos de mesma potência e igualando com
, temos:
E assim por diante para os termos seguintes.
Resposta
Assim, a função
em termos de somatório fica:
Isso nos dá a série de potências para
expressa em função dos coeficientes de
e
.
Exercícios relacionados
Construa uma função
que seja contínua em
e que seja diferenciável em todos os pontos exceto em
.
Com base nas séries acima pede-se: Faça uma análise para cada uma das séries se elas divergem ou convergem. Se convergem, para qual valor elas convergem?
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Calcule as seguintes integrais: