Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função é diferenciável. Isso envolve entender sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade em funções de várias variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e verificar se elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Lembre-se que a derivada de em relação a é .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para e , vemos que o denominador nunca é zero para valores reais de e , o que garante que as derivadas parciais são contínuas em todo o plano .

Passo 6

Segundo as condições de diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de são contínuas em todos os pontos de , concluímos que é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos de porque suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio.

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