Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é diferenciável. Isso envolve entender sobre derivadas parciais e condições de diferenciabilidade em funções de várias variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para
e
, vemos que o denominador
nunca é zero para valores reais de
e
, o que garante que as derivadas parciais são contínuas em todo o plano
.
Passo 6
Segundo as condições de diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de
são contínuas em todos os pontos de
, concluímos que
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
porque suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio.
Exercícios relacionados
Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de
, pede-se: Encontre função
em termos de somatório, sabendo que
Construa uma função
que seja contínua em
e que seja diferenciável em todos os pontos exceto em
.
Calcule as seguintes integrais: