Construa uma função que seja contínua em e que seja diferenciável em todos os pontos exceto em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma função que seja contínua em todos os números reais e que só não seja diferenciável nos pontos , e . Isso envolve entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar usar funções que mantenham essas propriedades em todo lugar, menos nos pontos específicos citados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “buracos” ali. Ou seja, o gráfico da função pode ser desenhado sem levantar o lápis. Já a função é diferenciável em um ponto se ela tiver uma derivada lá, o que basicamente significa que o gráfico não tem cantos ou pontas naquele ponto.
Passo 3
Para ter uma função que não seja diferenciável em , e , podemos incorporar “cantinhos” nesses pontos. Uma maneira comum de fazer isso é usar o valor absoluto, já que a função tem um ponto não diferenciável em .
Passo 4
Vamos construir nossa função de forma que ela tenha esses “cantinhos” em , e , mas seja suave (diferenciável) em todos os outros lugares. Podemos somar funções do tipo , onde são os pontos onde queremos o não diferenciável.
Passo 5
Vamos montar a função da seguinte maneira:
Aqui, cria um “cantinho” em , em , e em . Fora esses pontos, a função é suave e diferenciável.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade. Cada uma das partes , e são contínuas em todo , e a soma de funções contínuas também é contínua. Portanto, é contínua em todos os reais.
Passo 7
Agora, sobre a diferenciabilidade. Nas embalagens , e , cada módulo tem um “cantinho”, ou seja, a derivada não existe nesses pontos. Em todo outro lugar, a função é diferenciável porque não há nenhum ponto com descontinuidade na derivada.