Construa uma função
que seja contínua em
e que seja diferenciável em todos os pontos exceto em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma função
que seja contínua em todos os números reais e que só não seja diferenciável nos pontos
,
e
. Isso envolve entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar usar funções que mantenham essas propriedades em todo lugar, menos nos pontos específicos citados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “saltos” ou “buracos” ali. Ou seja, o gráfico da função pode ser desenhado sem levantar o lápis. Já a função é diferenciável em um ponto se ela tiver uma derivada lá, o que basicamente significa que o gráfico não tem cantos ou pontas naquele ponto.
Passo 3
Para ter uma função que não seja diferenciável em
,
e
, podemos incorporar “cantinhos” nesses pontos. Uma maneira comum de fazer isso é usar o valor absoluto, já que a função
tem um ponto não diferenciável em
.
Passo 4
Vamos construir nossa função
de forma que ela tenha esses “cantinhos” em
,
e
, mas seja suave (diferenciável) em todos os outros lugares. Podemos somar funções do tipo
, onde
são os pontos onde queremos o não diferenciável.
Passo 5
Vamos montar a função da seguinte maneira:
Aqui,
cria um “cantinho” em
,
em
, e
em
. Fora esses pontos, a função é suave e diferenciável.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade. Cada uma das partes
,
e
são contínuas em todo
, e a soma de funções contínuas também é contínua. Portanto,
é contínua em todos os reais.
Passo 7
Agora, sobre a diferenciabilidade. Nas embalagens
,
e
, cada módulo tem um “cantinho”, ou seja, a derivada não existe nesses pontos. Em todo outro lugar, a função é diferenciável porque não há nenhum ponto com descontinuidade na derivada.
Resposta
A função que satisfaz as condições é: