Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral tripla:
Esse tipo de integral aparece no cálculo de volumes em diferentes coordenadas. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna, que nesse caso é o . Vamos precisar entender como funciona a integração múltipla e como iterar as integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Olha só, a função dentro da integral não depende de , ou seja, é constante em relação a . Quando integramos uma constante, é só multiplicar pela largura do intervalo de integração.
Então, a integral em relação a de de a fica:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na integral seguinte, que é em relação a :
Vamos integrar termo por termo. Primeiro, em relação a :
Depois, em relação a :
Então, juntando os dois:

Passo 4

Agora, resta integrar o resultado em relação a de a :
Vamos calcular essa integral:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique. .
Com base na função acima, a qual representa uma série de potências de , pede-se: Encontre função em termos de somatório, sabendo que
Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido delimitado pelo plano e pelo cone .
Resolva as integrais abaixo.
(f) .