Calcule as seguintes integrais: (1,0) integral0^1 integral0^x integral0^y(3 x^2+y^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral tripla:
integral0^1 integral0^x integral0^y(3 x^2+y^2) , dz , dy , dx
Esse tipo de integral aparece no cálculo de volumes em diferentes coordenadas. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando pela variável mais interna, que nesse caso é o . Vamos precisar entender como funciona a integração múltipla e como iterar as integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^y (3x^2 + y^2) , dz = (3x^2 + y^2) cdot (y - 0) = (3x^2 + y^2)y = 3x^2y + y^3 . Olha só, a função dentro da integral não depende de , ou seja, é constante em relação a . Quando integramos uma constante, é só multiplicar pela largura do intervalo de integração.
Então, a integral em relação a de de a fica:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na integral seguinte, que é em relação a integral0^x (3x^2y + y^3) , dy :
integral 3x^2y , dy = 3x^2 cdot y^22 = 32x^2y^2
Vamos integrar termo por termo. Primeiro, integral y^3 , dy = y^44 em relação a 32x^2y^2 + y^44 g|0^x = 32x^2x^2 + x^44 - 0 = 32x^4 + x^44 = 6x^44 + x^44 = 7x^44 :
Depois, em relação a :
Então, juntando os dois:

Passo 4

Agora, resta integrar o resultado em relação a integral0^1 7x^44 , dx de 74 integral0^1 x^4 , dx = 74 cdot x^55 g|0^1 = 74 cdot ( 15 - 0 ) = 720 a :
Vamos calcular essa integral:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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