Determine as coordenadas do vetor u=(4,5,3) de I R^3 em relação às seguintes bases:
(a) Canônica;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor no espaço tridimensional e precisamos encontrar suas coordenadas em relação à base canônica. A base canônica é um conjunto padrão de vetores que facilita a representação de qualquer vetor no espaço usando coordenadas diretas. Para resolver isso, vamos ver o que é a base canônica e como expressar o vetor usando ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica em e1 = (1, 0, 0) . A base canônica é formada por três vetores:
e2 = (0, 1, 0)
e3 = (0, 0, 1)
Esses vetores apontam nas direções dos eixos , e , respectivamente. Qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas do vetor u = a cdot e1 + b cdot e2 + c cdot e3 em relação à base canônica, vamos expressar (4, 5, 3) = a cdot (1, 0, 0) + b cdot (0, 1, 0) + c cdot (0, 0, 1) como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que vamos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os valores dos vetores da base:

Passo 4

Vamos agora fazer as operações das combinações lineares:
a cdot (1, 0, 0) = (a, 0, 0)
b cdot (0, 1, 0) = (0, b, 0)
c cdot (0, 0, 1) = (0, 0, c)
Somando esses vetores:
(a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c)
Então, temos:
(a, b, c) = (4, 5, 3)

Passo 5

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes para encontrar os valores de a = 4 , b = 5 e c = 3 :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base canônica são .

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