Determine as coordenadas do vetor
de
em relação às seguintes bases:
(a) Canônica;
(a) Canônica;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um vetor
no espaço tridimensional
e precisamos encontrar suas coordenadas em relação à base canônica. A base canônica é um conjunto padrão de vetores que facilita a representação de qualquer vetor no espaço usando coordenadas diretas. Para resolver isso, vamos ver o que é a base canônica e como expressar o vetor
usando ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica em
. A base canônica é formada por três vetores:
Esses vetores apontam nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente. Qualquer vetor no
pode ser escrito como uma combinação desses três vetores.
Passo 3
Para encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base canônica, vamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base. Isso significa que vamos encontrar escalares
,
e
tais que:
Substituindo os valores dos vetores da base:
Passo 4
Vamos agora fazer as operações das combinações lineares:
Somando esses vetores:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes para encontrar os valores de
,
e
:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base canônica são
.