Seja uma matriz . Denotaremos por a matriz cujas entradas são as entradas da -ésima linha de e por a matriz cujas entradas são as entradas da -ésima coluna de . Ou seja, se
onde a entrada 1 está na coluna i, e as demais entradas nulas, e
C^j(A)=[c a1 j aj 2 vdots am j ]
onde a entrada 1 está na linha j, e as demais entradas nulas. Mostre que Xi A=Li(A) e que A Y^j=C^j(A).
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo matrizes. O enunciado define algumas notações para linhas e colunas de uma matriz e apresenta vetores especiais e . Nosso objetivo é demonstrar que multiplicando pela matriz resulta na -ésima linha de , representada por , e que multiplicar pelo vetor resulta na -ésima coluna de , representada por . Para isso, vamos precisar entender como multiplicação de matrizes e vetores funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é Xi = [ 0, dots, 1, dots, 0 ] . Pelo enunciado, , onde é a matriz identidade de ordem . A matriz identidade tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições. Portanto, é uma matriz com 1 na posição e 0 nas outras.
onde o 1 está na -ésima posição.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar Xi A = [ 0, dots, 1, dots, 0 ] times A pela matriz . A multiplicação de uma matriz por uma matriz resulta em uma matriz . Cada elemento dessa matriz resultante é a soma dos produtos correspondentes das entradas de e das colunas de .
Passo 4
Observando a estrutura de Xi A = 0 times Coluna 1 de A + dots + 1 times Coluna i de A + dots + 0 times Coluna m de A = Linha i de A = Li(A) , vemos que todas as entradas são 0, exceto a -ésima, que é 1. Ao multiplicar por , apenas a -ésima linha de será selecionada, já que os demais elementos multiplicam-se por 0 e não contribuem para a soma final.
Passo 5
Agora, vamos analisar Y^j = 0 vdots 1 vdots 0 . Pelo enunciado, é uma matriz com 1 na -ésima posição e 0 nas demais.
onde o 1 está na -ésima linha.
Passo 6
Multiplicando A Y^j = Coluna j de A = C^j(A) por , temos uma matriz multiplicada por uma matriz . No entanto, para que a multiplicação seja válida, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Parece que há um pequeno engano nas dimensões, mas supondo que seja uma matriz , a multiplicação resulta em uma matriz .