Como base no problema 05, expanda a função F(s) = s^(-1/2) e^(-1/s) em potências de s^(-1) e verifique que:
L^{-1}(1/raiz(s) e^{-1/s})=1/raiz(pi t) cos(2 raiz(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expandir a função em potências de e depois verificar que a transformada inversa de Laplace dessa função é . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries de potências, expansão em série de Taylor ou Maclaurin, e transformar funções do domínio de para o domínio do tempo usando a transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo exponencial em uma série de potências de . Lembrando que a expansão de é , então substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série pela função que está na frente:

Passo 4

Agora, temos a funç��o escrita como uma série de potências de . Queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo dessa série. A transformada inversa de Laplace de é conhecida e dada por:
onde é a função gama.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, cada termo da série tem . Então, a transformada inversa de cada termo é:

Passo 6

Somando todos esses termos, a transformada inversa de será:

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que . Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 8

A série resultante é a expansão em série de Taylor para :

Passo 9

Portanto, substituindo de volta na expressão da transformada inversa:

Resposta

Assim, verificamos que:

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