Como base no problema 05, expanda a função
em potências de
e verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expandir a função
em potências de
e depois verificar que a transformada inversa de Laplace dessa função é
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries de potências, expansão em série de Taylor ou Maclaurin, e transformar funções do domínio de
para o domínio do tempo
usando a transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o termo exponencial
em uma série de potências de
. Lembrando que a expansão de
é
, então substituindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série pela função
que está na frente:
Passo 4
Agora, temos a fun�o
escrita como uma série de potências de
. Queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo dessa série. A transformada inversa de Laplace de
é conhecida e dada por:
onde
é a função gama.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, cada termo da série tem
. Então, a transformada inversa de cada termo é:
Passo 6
Somando todos esses termos, a transformada inversa de
será:
Passo 7
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
. Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 8
A série resultante é a expansão em série de Taylor para
:
Passo 9
Portanto, substituindo de volta na expressão da transformada inversa:
Resposta
Assim, verificamos que: