Verifique que
para
.
Depois, deduza que
para
.
Depois, deduza que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de
e, em seguida, deduzir uma fórmula mais geral para essa transformada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções que envolvem polinômios e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso,
. Então, a transformada de Laplace dessa função é:
Passo 3
Agora, queremos verificar se:
Para isso, vamos aplicar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona
com a derivada da transformada de
. A propriedade é:
Mas para facilitar, podemos usar integração por partes. Vamos definir:
Então,
Aplicando a integração por partes:
Quando avaliamos de 0 a
, o primeiro termo tende a zero (supondo que
para convergência), ficando:
Isso confirma a relação que o exercício nos pediu para verificar.
Passo 4
Agora, vamos deduzir que:
Sabemos que para
:
Usando a relação que acabamos de verificar, podemos aplicar recursivamente para
:
E assim por diante. Observamos que cada incremento em
adiciona um fator de
no numerador e aumenta a potência de
no denominador. Portanto, de forma geral:
Resposta
A transformada de Laplace de
para
é:
Exercícios relacionados
Determine
, onde:
e
Determine
, onde:
e
Como base no problema 05, expanda a função
em potências de
e verifique que:
Determine
, onde