Verifique que L{t^n e^(a t)} = (n/(s-a)) L{t^(n-1) e^(a t)} para n ≥ 1.
Depois, deduza que L{t^n e^{a t}} = n/((s-a)^{n+1}) para n ≥ 1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar uma relação envolvendo a transformada de Laplace de e, em seguida, deduzir uma fórmula mais geral para essa transformada. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la a funções que envolvem polinômios e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, . Então, a transformada de Laplace dessa função é:

Passo 3

Agora, queremos verificar se:
Para isso, vamos aplicar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona com a derivada da transformada de . A propriedade é:
Mas para facilitar, podemos usar integração por partes. Vamos definir:
Então,
Aplicando a integração por partes:
Quando avaliamos de 0 a , o primeiro termo tende a zero (supondo que para convergência), ficando:
Isso confirma a relação que o exercício nos pediu para verificar.

Passo 4

Agora, vamos deduzir que:
Sabemos que para :
Usando a relação que acabamos de verificar, podemos aplicar recursivamente para :
E assim por diante. Observamos que cada incremento em adiciona um fator de no numerador e aumenta a potência de no denominador. Portanto, de forma geral:

Resposta

A transformada de Laplace de para é:

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